树上搜索

题目背景

西西艾弗岛大数据中心为了收集用于模型训练的数据，推出了一项自愿数据贡献的系统。岛上的居民可以登录该系统，回答系统提出的问题，从而为大数据中心提供数据。为了保证数据的质量，系统会评估回答的正确性，如果回答正确，系统会给予一定的奖励。

近期，大数据中心需要收集一批关于名词分类的数据。系统中会预先设置若干个名词类别，这些名词类别存在一定的层次关系。例如，“动物”是“生物”的次级类别，“鱼类”是“动物”的次级类别，“鸟类”是“动物”的次级类别，“鱼类”和“鸟类”是“动物”下的邻居类别。这些名词类别可以被按树形组织起来，即除了根类别外，每个类别都有且仅有一个上级类别。

并且所有的名词都可以被归类到某个类别中，即每个名词都有且仅有一个类别与其对应。一个类别的后代类别的定义是： 若该类别没有次级类别，则该类别没有后代类别；否则该类别的后代类别为该类别的所有次级类别，以及其所有次级类别的后代类别。

下图示意性地说明了标有星号的类别的次级类别和后代类别。

次级类别与后代类别

系统向用户提出问题的形式是：某名词是否属于某类别，而用户可以选择“是”或“否”来回答问题。该问题的含义是：某名词是否可以被归类到某类别或其后代类别中。

例如，要确定名词“鳕鱼”的类别，系统会向用户提出“鳕鱼是否属于动物”，当用户选择“是”时，系统会进一步询问“鳕鱼是否属于鱼类”，当用户选择“是”时，即可确定“鳕鱼”可以被归类到“鱼类”这一类别。

此外，如果没有更具体的分类，某一名词也可以被归类到非叶子结点的类别中。例如，要确定“猫”的类别，系统可以向用户提出“猫是否属于动物”，当用户选择“是”时，系统会进一步分别询问“猫”是否属于“鱼类”和“鸟类”，当两个问题收到了否定的答案后，系统会确定“猫”的类别是“动物”。

大数据中心根据此前的经验，已经知道了一个名词属于各个类别的可能性大小。为了用尽量少的问题确定某一名词的类别，大数据中心希望小 C 来设计一个方法，以减少系统向用户提出的问题的数量。

问题描述

小 C 观察了事先收集到的数据，并加以统计，得到了一个名词属于各个类别的可能性大小的信息。具体而言，每个类别都可以赋予一个被称为权重的值，值越大，说明一个名词属于该类别的可能性越大。由于每次向用户的询问可以获得两种回答，小 C 联想到了二分策略。他设计的策略如下：

1. 对于每一个类别，统计它和其全部后代类别的权重之和，同时统计其余全部类别的权重之和，并求二者差值的绝对值，计为 $w_{\delta }$；
2. 选择 $w_{\delta }$ 最小的类别，如果有多个，则选取编号最小的那一个，向用户询问名词是否属于该类别；
3. 如果用户回答“是”，则仅保留该类别及其后代类别，否则仅保留其余类别；
4. 重复步骤 1，直到只剩下一个类别，此时即可确定名词的类别。

小 C 请你帮忙编写一个程序，来测试这个策略的有效性。你的程序首先读取到所有的类别及其上级次级关系，以及每个类别的权重。你的程序需要测试对于被归类到给定类别的名词，按照上述策略提问，向用户提出的所有问题。

输入格式

从标准输入读入数据。

输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 $n$ 和 $m$,分别表示全部类别的数量和需要测试的类别的数量。所有的类别从 1 到 $n$ 编号，其中编号为 1 的是根类别。

输入的第二行包含 $n$ 个空格分隔的正整数 $w_1,w_2,\dots ,w_n$，其中第 $i$ 个数 $w_i$ 表示编号为 $i$ 的类别的权重。

输入的第三行包含 $(n-1)$ 个空格分隔的正整数$p_2,p_3,\dots ,p_n$，其中第 $i$ 个数 $p_{i+1}$ 表示编号为 $(i+1)$ 的类别的上级类别的编号，其中 $p_i\in [1,n]$

接下来输入 $m$ 行，每行一个正整数，表示带要测试的类别编号。

输出格式

输出 $m$ 行，每行表示对一个被测试的类别的测试结果。表示按小 C 的询问策略，对属于给定的被测类别的名词，需要依次向用户提出的问题。

每行包含若干空格分隔的正整数，每个正整数表示一个问题中包含的类别的编号，按照提问的顺序输出。

样例1输入

5 2
10 50 10 10 20
1 1 3 3
5
3

样例1输出

2 5
2 5 3 4

样例解释

上述输入数据所表示的类别关系如下图所示，同时各个类别的权重也标注在了图上。

样例输入数据所表示的类别关系

对于归类于类别 5 的某个名词，按照上述询问策略，应当对于树上的每个节点，都计算 $w_{\delta }$ 的值，对于类别 1 至 5，得到的 $w_{\delta }$ 分别为：100、0、20、80、60。因此首先就类别 2 提问。由于类别 5 不属于类别 2 的后代类别，因此用户回答“否”，此时去除类别 2 和其全部后代类别，仅保留类别 1、3、4、5。对于剩下的类别，计算 $w_{\delta }$ 的值，得到的 $w_{\delta }$ 分别为：50、30、30、10。因此再就类别 5 提问。由于类别 5 就是被提问的名词所属类别，因此用户回答“是”，此时仅保留类别 5 和其全部后代类别。我们发现，这个时候，只剩下类别 5，因此算法结束。上述过程如下图所示：

算法执行过程 1

对于归类于类别 3 的某个名词，按照上述询问策略，依次对类别 2、5 提问，过程与前述一致。但是由于类别 3 不属于类别 2 的后代类别，用户回答“否”，此时应当去掉类别 5 和其后代类别，仅保留类别 1、3、4。分别计算 $w_{\delta }$ 得：30、10、10。此时应当选择编号较小的类别 3 提问。由于类别 3 就是被提问的名词所属类别，因此用户回答“是”，此时仅保留类别 3 和其全部后代类别。我们发现，这个时候，并非只剩下一个类别，因此算法还应继续进行。剩下的类别有 3、4，分别计算 $w_{\delta }$ 得：20、0。因此再就类别 4 提问。由于类别 3 不属于类别 4 的后代类别，用户回答“否”，此时应当去掉类别 4 和其后代类别，仅保留类别 3。我们发现，这个时候，只剩下类别 3，因此算法结束。上述过程如下图所示：

算法执行过程 2

子任务

对 20% 的数据，各个类别的权重相等，且每个类别的上级类别都是根类别；

对另外 20% 的数据，每个类别的权重相等，且每个类别至多有一个下级类别；

对 60% 的数据，有 $n\le 100$,且 $m\le 10$；

对 100% 的数据，有 $n\le 2000,m\le 100$, 且 $w_i\le 10^7$。

满分代码

树结构的模拟题，这题直接深度优先暴力搜索就能过了，使用记忆化搜索应该能更快一点。

总体思路是：

1. 通过深度优先搜索，将目标类别（从根类别 1 开始）的权重更新为其全部后代类别的权重之和；
2. 选择权值与其余全部可选的类别的权重之和的差最小的。如果有多个，则选取编号最小的那一个，输出该类别；
3. 通过深度优先搜索，判断是否属于该类别；
4. 如果属于，则仅保留该类别及其后代可选择的类别，将目标类别换成该类别
5. 否则保留其余类别，即删除该类别及其所有后代类别；
6. 重复上述步骤，逐步缩小搜索范围，直到只剩下一个类别，此时即可确定名词的类别。

Java 和 C++ 的代码是满分，Python 代码只有 80 分，逻辑上是一样的还没找到那 20 分是哪里的错误

Java

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    static long[] wi, temp;
    static List<Integer>[] ls;
    static Set<Integer> yes = new HashSet<>();
    static Set<Integer> no = new HashSet<>();

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        QuickInput in = new QuickInput();
        PrintWriter out = new PrintWriter(new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out)));
        int n = in.nextInt(), m = in.nextInt();
        temp = new long[n + 1];
        ls = new List[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) temp[i] = in.nextInt();
        for (int i = 1; i <= n; i++) ls[i] = new ArrayList<>();
        for (int i = 2; i <= n; i++) ls[in.nextInt()].add(i);
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int t = in.nextInt(), pre = 1;
            no.clear();
            while (true) {
                wi = Arrays.copyOf(temp, n + 1);
                yes.clear();
                dfs(pre);
                if (yes.size() == 1) break;
                int idx = getMinIdx(pre);
                if (check(idx, t)) {
                    pre = idx;
                } else {
                    no.add(idx);
                }
                out.print(idx + " ");
            }
            out.println();
        }
        out.flush();
    }

    public static void dfs(int pre) {
        yes.add(pre);
        for (int i : ls[pre]) {
            if (!no.contains(i)) {
                dfs(i);
                wi[pre] += wi[i];
            }
        }
    }

    public static int getMinIdx(int pre) {
        long min = Long.MAX_VALUE;
        int idx = 1;
        for (int j : yes) {
            long wj = Math.abs(wi[pre] - 2 * wi[j]);
            if (min > wj) {
                min = wj;
                idx = j;
            }
        }
        return idx;
    }

    public static boolean check(int idx, int t) {
        if (idx == t) return true;
        for (int i : ls[idx]) {
            if (no.contains(i)) continue;
            if (check(i, t)) return true;
        }
        return false;
    }

    static class QuickInput {
        StreamTokenizer input = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        int nextInt() throws IOException {
            input.nextToken();
            return (int) input.nval;
        }
    }
}

C++

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;

vector<long long> wi, temp;
vector<vector<int>> ls;
set<int> yes, no;

void dfs(int pre) {
    yes.insert(pre);
    for (int i : ls[pre]) {
        if (no.find(i) == no.end()) {
            dfs(i);
            wi[pre] += wi[i];
        }
    }
}

int getMinIdx(int pre) {
    long long minDiff = LLONG_MAX;
    int idx = 1;
    for (int j : yes) {
        long long wj = abs(wi[pre] - 2 * wi[j]);
        if (minDiff > wj) {
            minDiff = wj;
            idx = j;
        }
    }
    return idx;
}

bool check(int idx, int t) {
    if (idx == t) return true;
    for (int i : ls[idx]) {
        if (no.find(i) != no.end()) continue;
        if (check(i, t)) return true;
    }
    return false;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    int n, m;
    cin >> n >> m;
    temp.resize(n + 1);
    ls.resize(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> temp[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++) ls[i] = vector<int>();
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        int parent;
        cin >> parent;
        ls[parent].push_back(i);
    }

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int t, pre = 1;
        cin >> t;
        no.clear();
        while (true) {
            wi = temp;
            yes.clear();
            dfs(pre);
            if (yes.size() == 1) break;
            int idx = getMinIdx(pre);
            if (check(idx, t)) pre = idx;
            else no.insert(idx);
            cout << idx << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

Python

def dfs(pre):
    yes.add(pre)
    [dfs(i) for i in ls[pre] if i not in no]
    wi[pre] += sum(wi[i] for i in ls[pre] if i not in no)

def check(idx, t):
    return idx == t or any(check(i, t) for i in ls[idx] if i not in no)

n, m = map(int, input().split())
temp = [0] + list(map(int, input().split()))
ls = [[] for _ in range(n + 1)]
[ls[pa].append(i) for i, pa in enumerate(map(int, input().split()), 2)]

for _ in range(m):
    t, pre, no = int(input()), 1, set()
    while True:
        wi, yes = temp.copy(), set()
        dfs(pre)
        if len(yes) == 1:
            break
        idx = min(yes, key=lambda j: abs(wi[pre] - 2 * wi[j]))
        if check(idx, t):
            pre = idx
        else:
            no.add(idx)
        print(idx, end=" ")
    print()