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一、递归算法

二、递归算法的典型例子

（1）阶乘

（2）二分查找

 （3）冒泡排序

（4）插入排序

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一、递归算法

计算机科学中，递归是一种解决计算问题的方法。其中解决方案取决于同一类问题的更小子集。说明如下。
（1）自己调用自己，如果说每个函数对应着一种解决方案，自己调用自己意味着解决方案是一样的（有规律的）
（2）每次调用，函数处理的数据会较上次缩减（子集），而且最后会缩减至无须继续递归。
（3）内层函数调用（子集处理）完成，外层函数才能算调用完成

二、递归算法的典型例子

（1）阶乘

 求解1到n的阶乘（也就是1*2*3*4*......*n）

public static void main(String[] args) {
       System.out.println(f(5));
    }
    public static int f(int n){
        if(n==1){
            return 1;
        }
        return n*f(n-1);
    }

（2）二分查找

关于二分查找算法的概念，我就不具体介绍了，可以看看博主写的文章：二分查找

 public static int f(int[] a,int target,int i,int j){
        //target是查找的目标值，i是左边界，j是有边界，函数返回值查找的目标值的位置
        if(i>j){
            return -1;
        }
        int m=(i+j)>>>1;
        if(target<a[m]){
            return f(a,target,0,m-1);
        }
        else if(target>a[m]){
            return f(a,target,m+1,j);
        }
        else{
            return m;
        }
   }
}

 （3）冒泡排序

冒泡排序（这里排序我是按照升序）的大概思想是：

1. 比较相邻元素： 从数组的第一个元素开始，依次比较相邻的两个元素。

2. 交换元素位置： 如果发现顺序不对（比如前面的元素大于后面的元素），则交换这两个元素的位置。

3. 一轮完成： 经过一轮的比较和交换，最大（或最小）的元素就像“冒泡”一样浮到数组的一端（比如末尾）。

4. 重复步骤： 重复以上步骤，直到整个数组排序完成。每一轮都会使一个元素移动到其最终的位置。

这个过程类似于水中的气泡逐渐向上升，所以得名“冒泡排序”。

public static void f(int[] a,int j){
        /*
        * 这里的大概思想是升序的，以j为分界线，j左边是还没有排序的，
        * j右边的表示以及排序过，
        * */
        if(j==0){
            return;
        }
        for(int i=0;i<j;i++){
            if(a[i]>a[i+1]){
                int f=a[i];
                a[i]=a[i+1];
                a[i+1]=f;
            }
        }
        f(a,j-1);
   }

（4）插入排序

插入排序的大概思想是：

插入排序是一种简单直观的排序算法，其基本思想是将待排序的数据分成已排序和未排序两部分，然后每次从未排序部分取出一个元素，在已排序部分找到合适的位置将其插入，使得已排序部分仍然保持有序。该过程不断重复，直到所有元素都被排序完毕。

具体的插入排序算法步骤如下：

1. 初始化： 将第一个元素视为已排序部分，其余的元素视为未排序部分。

2. 遍历： 从未排序部分取出一个元素，将其与已排序部分的元素逐一比较，找到合适的位置插入。

3. 插入： 将选中的元素插入到已排序部分的正确位置，同时调整已排序部分的顺序。

4. 重复： 重复步骤2和步骤3，直到未排序部分为空，所有元素都已插入到已排序部分。

插入排序是一种稳定的排序算法，适用于小规模数据或部分有序的数据集。其时间复杂度为O(n^2)，其中n是待排序元素的数量。在实际应用中，插入排序对于已经基本有序的数据集，效率较高，因为大部分元素在插入过程中只需进行少量的比较和移动。

public static void charu(int[] a,int j){
       if(j==a.length-1){
           return;
       }
        //j就是已经排序好的最后一个位置
       int tmp=a[j+1];
       int i;
       for(i=j;i>=0;i--){
          if(a[i]>tmp){
              a[i+1]=a[i];
          }
          else{
              break;
          }
      }
      a[i+1]=tmp;

       charu(a,j+1);
   }