AVL树底层实现

目录

AVL树简介

AVL树节点定义​编辑

AVL树特性

AVL树的建立

AVL树的插入

AVL树的旋转

验证AVL树

AVL树的实现（代码部分）

AVL树简介

AVL树是对二叉搜索树的改进，二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

AVL树是由两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明，A、V、L是他们名的首字母。

AVL树节点定义

相对于普通搜索二叉树，多了 parent 和 _bf 这两个成员变量，_bf 为平衡因子，_parent为指向父节点的指针，利用_parent 这个指针可以更方便的修改平衡因子、旋转AVL树

AVL树特性

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

  • 它的左右子树都是AVL树
  • 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如图，每个节点都多存一个整形的平衡因子，需要保持任一节点的平衡因子（右子树高度 - 左子树高度）绝对值不超过1，每次插入节点后都要更新节点的平衡因子（循环更新），如果平衡因子的绝对值大于1的话，就要进行“旋转”。

AVL树的建立

AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：

  • 1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
  • 2. 调整节点的平衡因子

调正平衡因子：右子树插入新节点，父节点平衡因子加1；左子树插入新节点，父节点平衡因子加1。并且要向上更新，直到出现父节点平衡因子等于0（调正结束）或者父节点平衡因子等于2/-2（平衡因子出错，需要调正）

更新后父节点 bf（平衡因子）

== 0  不用向上更新，插入结束

== 1/-1 子树变高了，必须向上更新

== 2/-2 子树违反规则，需调正（旋转）处理

AVL树的旋转

AVL树的旋转一共有四种，分别是 左单旋、右单旋、右左双旋、左右双旋

  • 左单旋：新节点插入较高右子树的右侧 ————右右：左单旋
  • 右单旋：新节点插入较高左子树的左侧 ————左左：右单旋
  • 右左双旋：新节点插入较高右子树的左侧 ————右左：右左双旋
  • 左右双旋：新节点插入较高左子树的右侧 ————左右：左右双旋

右左双旋

规律如下：“左子树和左边的结合，右子树和右边的结合，自己变成父节点放上去”

左右双旋 

规律依然是：“左子树和左边的结合，右子树和右边的结合，自己变成父节点放上去”。

验证AVL树

当你写了一个AVL树，如何验证他对不对呢？需要把握两个点

1. 验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

2. 验证其为平衡树（AVL树）

  • 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
  • 节点的平衡因子是否计算正确

每个节点的左右子树都是AVL树，要使用递归 + && 来确保这些节点左右子树的高度差和平衡因子都符合要求！（具体实现在代码部分）

AVL树的实现（代码部分）

#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		: _right(nullptr)
		, _left(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
		, _kv(kv)
	{}
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	int _bf;
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> AVLNode;
public:
	int Height(AVLNode* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}
	bool _IsAVLTree(AVLNode* root)
	{
		if (root == nullptr) return true;
		int Height1 = Height(root->_left);
		int Height2 = Height(root->_right);
		int diff = Height2 - Height1;
		if (diff != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << " 平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}
		return _IsAVLTree(root->_left)
			&& _IsAVLTree(root->_right)
			&& abs(diff) < 2;
	}
	bool IsAVLTree()
	{
		return _IsAVLTree(_root);
	}
	void Order()
	{
		_Order(_root);
		cout << endl;
	}
	void _Order(AVLNode* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		_Order(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " ";
		_Order(root->_right);
	}
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		// 首次插入，树为空的情况
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new AVLNode(kv);
			return true;
		}
		AVLNode* parent = nullptr; //记录父节点
		AVLNode* cur = _root;// 开始遍历
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;// 不能找到！找到说明已经有 key 了，插入失败
			}
		}
		// 运行到此处，即将要插入的位置
		cur = new AVLNode(kv);
		// 调整 cur 和 parent 的一些指针

		if (parent->_kv.first > kv.first) // 使用 parent->_kv.first 与 kv.first的比较
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		cur->_parent = parent;
		// 判断更新后父亲结点的大小
		// cur原本为新增节点  但是根据逐步更新父节点 parent，它会一直是成为 parent 的子节点
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_right)// 插入节点在右边
			{
				parent->_bf++;
			}
			else if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			if (parent->_bf == 0)
			{
				// 等于0，说明不用往上更新了，恰好父亲的两边一样高了
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				//说明高度增加了（是从0变为了1或者-1）
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
				// 向上更新一步
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) // 原来平衡因子等于 1 的节点的右子树插入了一个 或者原来平衡因子等于 -1 的节点左子树插入了一个
			{
				// 违反规则了，需要旋转
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					// 1、新节点插入较高右子树的右侧———— 右右 左单旋
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					// 2、新节点插入较高左子树的左侧———— 左左 右单旋
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					// 3、新节点插入较高右子树的左侧———— 右左 右左双旋  先右旋再左旋
					RotateRL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					// 4、新节点插入较高左子树的右侧———— 左右 左右双旋  先左旋再右旋
					RotateLR(parent);
				}
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}
	void RotateLR(AVLNode* parent)
	{
		AVLNode* subL = parent->_left;
		AVLNode* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
		RotateL(subL);
		RotateR(parent);
		if (bf == 0)// 自己是新增节点
		{
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1) // subL 左子树有新增节点
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1) // subL 右子树有新增节点
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
	}
	void RotateRL(AVLNode* parent)
	{
		AVLNode* subR = parent->_right;
		AVLNode* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(subR);
		RotateL(parent);
		if (bf == 0)  //subRL 自己就是新增节点
		{
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1) // subRL 右子树有新增节点
		{
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)// subRL 左子树有新增节点
		{
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
			parent->_bf = 0;
		}
	}
	void RotateR(AVLNode* parent)
	{
		AVLNode* subL = parent->_left;
		AVLNode* subLR = subL->_right;
		AVLNode* parentParent = parent->_parent;
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			subL-> _parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
			{
				parentParent->_left = subL;
			}
			else if (parentParent->_right == parent)
			{
				parentParent->_right = subL;
			}
			subL->_parent = parentParent;
		}
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}
	void RotateL(AVLNode* parent)
	{
		AVLNode* subR = parent->_right;
		AVLNode* subRL = subR->_left;
		AVLNode* parentParent = parent->_parent;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;
		parent->_right = subRL;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			// 先找到 parent 是父亲的左子树还是右子树
			if (parentParent->_left == parent) // 左子树
			{
				parentParent->_left = subR;
			}
			else if (parentParent->_right == parent) // 右子树
			{
				parentParent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = parentParent;
		}
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}
private:
	AVLNode* _root = nullptr;
};

 

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