无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter, UKF）：理论和应用

卡尔曼滤波是一种强大的状态估计方法，广泛应用于控制系统、导航、机器人等领域。然而，传统的卡尔曼滤波假设系统是线性的，而在实际应用中，许多系统具有非线性特性。为了解决这一问题，无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter, UKF）应运而生，它通过采用无迹变换来处理非线性系统。
线性卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波中相关公式不再重复。

1. 无迹卡尔曼滤波的理论基础

1.1 状态空间模型

无迹卡尔曼滤波是一种基于非线性状态空间模型的滤波器。系统的状态方程和测量方程可以表示为：

状态方程：
$\begin{equation} x_k = f(x_{k-1}, u_k) + w_k \end{equation}$

测量方程：
$\begin{equation}z_k = h(x_k) + v_k \end{equation}$

其中， $x_k$ 是系统的状态向量， $u_k$ 是系统的控制输入， $z_k$ 是测量向量， $f$ 和 $h$ 是非线性的状态转移和测量函数，而 $w_k$ 和 $v_k$ 是过程噪声和测量噪声。

1.2 无迹变换

无迹卡尔曼滤波的核心思想是使用无迹变换，通过选择一组称为sigma点的特殊采样点来近似非线性函数的统计性质。这些sigma点是通过对系统状态的均值和协方差进行线性变换得到的。

对于一个 $n$ 维状态向量 $x$ ，无迹变换可以生成 $2 n + 1$ 个 $s i g ma$ 点，即：
$\begin{equation}X = [x, x + \sqrt{(n+\lambda)P}, x - \sqrt{(n+\lambda)P}] \end{equation}$

其中， $P$ 是状态的协方差矩阵， $\lambda$ 是一个与系统维度有关的可调参数。

1.3 无迹卡尔曼滤波算法步骤

在这里插入图片描述

初始化： 初始化系统状态估计和协方差矩阵。
生成sigma点： 使用当前状态估计和协方差矩阵生成sigma点。
状态预测： 对每个 $s i g ma$ 点进行状态转移，得到预测状态。
计算预测均值和协方差： 根据预测状态计算均值和协方差。
生成预测测量sigma点： 使用预测状态的均值和协方差生成预测测量的sigma点。
计算预测测量均值和协方差： 根据预测测量的sigma点计算均值和协方差。
计算卡尔曼增益： 利用预测的协方差、测量的协方差以及卡尔曼增益的计算公式。
更新状态估计： 利用卡尔曼增益进行状态更新。
更新协方差： 利用卡尔曼增益进行协方差更新。
返回步骤2： 重复以上步骤直至滤波结束。

2. 无迹卡尔曼滤波与其他卡尔曼滤波的对比

2.1 与线性卡尔曼滤波的对比

无迹卡尔曼滤波不需要对非线性函数进行线性化，因此更适用于非线性系统。
避免了雅可比矩阵的计算和使用，简化了算法实现。

2.2 与扩展卡尔曼滤波的对比

无迹卡尔曼滤波通过sigma点直接近似非线性函数，避免了对雅可比矩阵的计算和使用，相比扩展卡尔曼滤波更为直观。
不容易受到非线性函数选取不当导致的不稳定性问题。

3. 无迹卡尔曼滤波的Python代码示例

一维非线性系统

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义一维非线性系统的状态转移函数（这里选择正弦函数）
def state_transition(x, dt):
    # 在这个例子中，状态转移函数是一个正弦函数
    return x + np.sin(x) * dt

# 定义观测函数
def observation_model(x):
    # 观测函数是状态的直接测量
    return x

# 生成模拟数据
np.random.seed(123)
true_data = np.arange(0, 10, 0.1)
measurements = true_data + np.random.normal(0, 0.5, size=len(true_data))

# 定义一维无痕卡尔曼滤波器类
class UKF:
    def __init__(self, state_dim, process_noise, measurement_noise):
        self.state_dim = state_dim
        self.process_noise = process_noise
        self.measurement_noise = measurement_noise

        # 初始化状态和协方差矩阵
        self.x = np.zeros(state_dim)
        self.P = np.eye(state_dim) * 0.1

    def predict(self, dt):
        # 预测步骤
        # 预测状态
        self.x = state_transition(self.x, dt)

        # 计算状态转移矩阵的Jacobian（在这个例子中，简化为单位矩阵）
        F = np.eye(self.state_dim)

        # 预测协方差
        self.P = F @ self.P @ F.T + self.process_noise

    def update(self, z):
        # 更新步骤
        # 计算测量矩阵的Jacobian（在这个例子中，简化为单位矩阵）
        H = np.eye(self.state_dim)

        # 计算测量噪声矩阵
        R = np.eye(self.state_dim) * self.measurement_noise

        # 计算卡尔曼增益
        K = self.P @ H.T @ np.linalg.inv(H @ self.P @ H.T + R)

        # 更新状态
        self.x = self.x + K @ (z - observation_model(self.x))

        # 更新协方差
        self.P = (np.eye(self.state_dim) - K @ H) @ self.P

# 运行UKF滤波
ukf = UKF(state_dim=1, process_noise=0.1, measurement_noise=0.5)

estimates = []

for z in measurements:
    ukf.predict(dt=0.1)  # 时间步长为0.1
    ukf.update(z)
    estimates.append(ukf.x[0])

# 绘制滤波前后的曲线图
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(true_data, label='True Data', linestyle='dashed')
plt.plot(measurements, label='Measurements', marker='x')
plt.plot(estimates, label='Filtered Estimates', marker='^')
plt.legend()
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Value')
plt.title('One-Dimensional Nonlinear Unscented Kalman Filter')
plt.show()

在以上示例代码中，我们演示了一维非线性系统的无迹卡尔曼滤波。这些示例代码可以作为理解和实现无迹卡尔曼滤波的起点，并根据实际问题进行调整。无迹卡尔曼滤波在处理非线性系统时展现出了良好的性能，是一种强大的状态估计方法。

4.结论

无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter, UKF）是卡尔曼滤波的一种扩展，主要用于处理非线性系统。通过使用无迹变换，UKF能够更准确地估计非线性系统的状态，并避免了对雅可比矩阵的线性化要求。以下是对UKF的优点和缺点的综合结论：

优点：

无需雅可比矩阵： 与扩展卡尔曼滤波（EKF）不同，UKF不需要对非线性函数进行雅可比矩阵的计算，使得算法更为简化，同时减小了实现的复杂度。
适用于高度非线性系统： UKF对高度非线性的系统具有更好的适应性。通过采样一组sigma点，UKF直接近似了非线性函数的统计性质，更准确地捕捉系统的非线性特性。
避免发散问题： 与EKF相比，UKF更不容易受到非线性函数选取不当导致的不稳定性问题，提高了滤波的鲁棒性。
不限于高斯分布： UKF对状态变量的分布形状没有特殊的假设，因此在处理非高斯分布的情况下更为灵活。

缺点：