给你一个整数数组 nums
,其中元素已经按 升序 排列,请你将其转换为一棵 高度平衡 二叉搜索树。
高度平衡 二叉树是一棵满足「每个节点的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1 」的二叉树。
示例 1:
输入:nums = [-10,-3,0,5,9] 输出:[0,-3,9,-10,null,5] 解释:[0,-10,5,null,-3,null,9] 也将被视为正确答案:
示例 2:
输入:nums = [1,3] 输出:[3,1] 解释:[1,null,3] 和 [3,1] 都是高度平衡二叉搜索树。
提示:
1 <= nums.length <= 104
-104 <= nums[i] <= 104
nums
按 严格递增 顺序排列
思路
做这道题目之前大家可以了解一下这几道:
- 106.从中序与后序遍历序列构造二叉树(opens new window)
- 654.最大二叉树 (opens new window)中其实已经讲过了,如果根据数组构造一棵二叉树。
- 701.二叉搜索树中的插入操作(opens new window)
- 450.删除二叉搜索树中的节点(opens new window)
进入正题:
题目中说要转换为一棵高度平衡二叉搜索树。为什么强调要平衡呢?
因为只要给我们一个有序数组,如果强调平衡,都可以以线性结构来构造二叉搜索树。
例如 有序数组[-10,-3,0,5,9] 就可以构造成这样的二叉搜索树,如图。
上图中,是符合二叉搜索树的特性吧,如果要这么做的话,是不是本题意义就不大了,所以才强调是平衡二叉搜索树。
其实数组构造二叉树,构成平衡树是自然而然的事情,因为大家默认都是从数组中间位置取值作为节点元素,一般不会随机取。所以想构成不平衡的二叉树是自找麻烦。
在二叉树:构造二叉树登场! (opens new window)和二叉树:构造一棵最大的二叉树 (opens new window)中其实已经讲过了,如果根据数组构造一棵二叉树。
本质就是寻找分割点,分割点作为当前节点,然后递归左区间和右区间。
本题其实要比二叉树:构造二叉树登场! (opens new window)和 二叉树:构造一棵最大的二叉树 (opens new window)简单一些,因为有序数组构造二叉搜索树,寻找分割点就比较容易了。
分割点就是数组中间位置的节点。
那么为问题来了,如果数组长度为偶数,中间节点有两个,取哪一个?
取哪一个都可以,只不过构成了不同的平衡二叉搜索树。
例如:输入:[-10,-3,0,5,9]
如下两棵树,都是这个数组的平衡二叉搜索树:
如果要分割的数组长度为偶数的时候,中间元素为两个,是取左边元素 就是树1,取右边元素就是树2。
这也是题目中强调答案不是唯一的原因。 理解这一点,这道题目算是理解到位了。
#递归
递归三部曲:
- 确定递归函数返回值及其参数
删除二叉树节点,增加二叉树节点,都是用递归函数的返回值来完成,这样是比较方便的。
相信大家如果仔细看了二叉树:搜索树中的插入操作 (opens new window)和二叉树:搜索树中的删除操作 (opens new window),一定会对递归函数返回值的作用深有感触。
那么本题要构造二叉树,依然用递归函数的返回值来构造中节点的左右孩子。
再来看参数,首先是传入数组,然后就是左下标left和右下标right,我们在二叉树:构造二叉树登场! (opens new window)中提过,在构造二叉树的时候尽量不要重新定义左右区间数组,而是用下标来操作原数组。
所以代码如下:
// 左闭右闭区间[left, right]
TreeNode* traversal(vector<int>& nums, int left, int right)
这里注意,我这里定义的是左闭右闭区间,在不断分割的过程中,也会坚持左闭右闭的区间,这又涉及到我们讲过的循环不变量。
在二叉树:构造二叉树登场! (opens new window),35.搜索插入位置 (opens new window)和59.螺旋矩阵II (opens new window)都详细讲过循环不变量。
- 确定递归终止条件
这里定义的是左闭右闭的区间,所以当区间 left > right的时候,就是空节点了。
代码如下:
if (left > right) return nullptr;
- 确定单层递归的逻辑
首先取数组中间元素的位置,不难写出int mid = (left + right) / 2;
,这么写其实有一个问题,就是数值越界,例如left和right都是最大int,这么操作就越界了,在二分法 (opens new window)中尤其需要注意!
所以可以这么写:int mid = left + ((right - left) / 2);
但本题leetcode的测试数据并不会越界,所以怎么写都可以。但需要有这个意识!
取了中间位置,就开始以中间位置的元素构造节点,代码:TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);
。
接着划分区间,root的左孩子接住下一层左区间的构造节点,右孩子接住下一层右区间构造的节点。
最后返回root节点,单层递归整体代码如下:
int mid = left + ((right - left) / 2);
TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);
root->left = traversal(nums, left, mid - 1);
root->right = traversal(nums, mid + 1, right);
return root;
这里int mid = left + ((right - left) / 2);
的写法相当于是如果数组长度为偶数,中间位置有两个元素,取靠左边的。
- 递归整体代码如下:
class Solution {
private:
TreeNode* traversal(vector<int>& nums, int left, int right) {
if (left > right) return nullptr;
int mid = left + ((right - left) / 2);
TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);
root->left = traversal(nums, left, mid - 1);
root->right = traversal(nums, mid + 1, right);
return root;
}
public:
TreeNode* sortedArrayToBST(vector<int>& nums) {
TreeNode* root = traversal(nums, 0, nums.size() - 1);
return root;
}
};
注意:在调用traversal的时候传入的left和right为什么是0和nums.size() - 1,因为定义的区间为左闭右闭。
#迭代法
迭代法可以通过三个队列来模拟,一个队列放遍历的节点,一个队列放左区间下标,一个队列放右区间下标。
模拟的就是不断分割的过程,C++代码如下:(我已经详细注释)
class Solution {
public:
TreeNode* sortedArrayToBST(vector<int>& nums) {
if (nums.size() == 0) return nullptr;
TreeNode* root = new TreeNode(0); // 初始根节点
queue<TreeNode*> nodeQue; // 放遍历的节点
queue<int> leftQue; // 保存左区间下标
queue<int> rightQue; // 保存右区间下标
nodeQue.push(root); // 根节点入队列
leftQue.push(0); // 0为左区间下标初始位置
rightQue.push(nums.size() - 1); // nums.size() - 1为右区间下标初始位置
while (!nodeQue.empty()) {
TreeNode* curNode = nodeQue.front();
nodeQue.pop();
int left = leftQue.front(); leftQue.pop();
int right = rightQue.front(); rightQue.pop();
int mid = left + ((right - left) / 2);
curNode->val = nums[mid]; // 将mid对应的元素给中间节点
if (left <= mid - 1) { // 处理左区间
curNode->left = new TreeNode(0);
nodeQue.push(curNode->left);
leftQue.push(left);
rightQue.push(mid - 1);
}
if (right >= mid + 1) { // 处理右区间
curNode->right = new TreeNode(0);
nodeQue.push(curNode->right);
leftQue.push(mid + 1);
rightQue.push(right);
}
}
return root;
}
};
#总结
在二叉树:构造二叉树登场! (opens new window)和 二叉树:构造一棵最大的二叉树 (opens new window)之后,我们顺理成章的应该构造一下二叉搜索树了,一不小心还是一棵平衡二叉搜索树。
其实思路也是一样的,不断中间分割,然后递归处理左区间,右区间,也可以说是分治。
此时相信大家应该对通过递归函数的返回值来增删二叉树很熟悉了,这也是常规操作。
在定义区间的过程中我们又一次强调了循环不变量的重要性。
最后依然给出迭代的方法,其实就是模拟取中间元素,然后不断分割去构造二叉树的过程。