卷积神经网络

在前面的章节中，我们遇到过图像数据。这种数据的每个样本都由一个二维像素网格组成，每个像素可能是一个或者多个数值，取决于是黑白还是彩色图像。到目前为止，我们处理这类结构丰富的数据方式还不够有效。我们仅仅通过将数据展平成一维向量而忽略每个图象的空间结构信息，再将数据送入一个全连接的多层感知机中。因为这些网络特征元素的顺序是不变的，因此最优的结果是利用先验知识，即利用相近像素之间的互关联性，从图像数据中学习得到有效的模型。

本章介绍的卷积神经网络（convolutional neural network，CNN）是一类强大的、为处理图像数据而设计的神经网络。基于卷积神经网络架构的模型在计算机视觉领域中已经占主导地位，当今几乎所有的图像识别、目标检测或语义分割相关的学术竞赛和商业应用都以这种方法为基础。

现代卷积神经网络的设计得益于生物学、群论和一系列的补充实验。卷积神经网络需要的参数少于全连接架构的网络，而且卷积也很容易用GPU并行计算。因此卷积神经网络除了能够高效的采样从而获得精确的模型，还能够高效的计算。久而久之，从业人员越来越多地使用卷积神经网络。即使在通常使用循环神经网络的一维序列结构任务上（例如音频、文本和时间序列分析），卷积神经网络也越来越受欢迎。通过对卷积神经网络一些巧妙的调整，也是它们在图结构数据和推荐系统中发挥作用。

在本章的开始。我们将介绍构成所有卷积网络主干的基本元素。这包括卷积层本身、填充（padding）和步幅（stride）的基本细节、用于在相邻区域汇聚信息的汇聚层（pooling）、在每一层中多通道（channel）的使用，以及有关现代卷积网络架构的仔细讨论。在本章节的最后，我们将介绍一个完整的、可运行的LeNet模型：这是第一个成功应用的卷积神经网络，比现代深度学习的兴起时间还要早。在下一章中，我们将深入研究一些流行的、相对较新的卷积神经网络架构的完整实现，这些网络架构涵盖了现代从业者通常使用的大多数经典技术。

1.从全连接层到卷积

多层感知机十分适合处理表格数据，其中行对应样本，列对应特征。对于表格数据，寻找的模式可能涉及特征之间的交互，但是不能预设假设任何与特征交互相关的先验结构。此时，多层感知机可能是最好的选择，然而对于高维感知数据，这种缺少结构的网络可能会变的不实用。

不变性

卷积神经网络将空间不变性的概念系统化，从而基于这个模型使用较少的参数来学习有用的表示。

（空间不变性也就是在说换任何一个地方它本身都不会发生改变）

1. 平移不变性：不管检测对象出现在图像中的哪个位置，神经网络的前面几层应该对相同的图像区域具有相似的反应，即为“平移不变性”。
2. 局部性：神经网络的前面几层应该只探索输入图像中的局部区域，而不过度在意图像中相隔较远区域的关系，这就是“局部性”原则。最终，可以聚合这些局部特征，以在整个图像级别进行预测。

多层感知机的限制

首先，多层感知机的输入是二维图像X，其隐藏特征H在数学上是一个矩阵，在代码中表示为二维张量。其中X和H具有相同的形状。为了方便理解，可以认为，无论是输入还是隐藏表示都拥有空间结构。

使用$$[\mathbf{X}{]}_{i,j}$$和$$[\mathbf{H}{]}_{i,j}$$分别表示输入图像和隐藏表示中位置$$(i，j)$$处的像素。为了使每个隐藏神经元都能接收到每个输入像素的信息，我们将参数从权重矩阵（如同我们先前在多层感知机中所做的那样）替换为四阶权重张量W。假设U包含偏置参数，我们可以将全连接层形式化的表示为：

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}{\left[\mathbf{H}\right]}_{i,j}& =[\mathbf{U}{]}_{i,j}+\sum _k\sum _l[\mathsf{W}{]}_{i,j,k,l}[\mathbf{X}{]}_{k,l}\\ & =[\mathbf{U}{]}_{i,j}+\sum _a\sum _b[\mathsf{V}{]}_{i,j,a,b}[\mathbf{X}{]}_{i+a,j+b}.\end{array}\end{array}$$

其中，从W到V的转换只是形式上的转换，因为在这两个四阶张量的元素之间存在一一对应的关系。我们只需要重新索引下标$$(k,l)$$，使$$k=i+a$$、$$l=j+b$$，由此可得$$[\mathsf{V}{]}_{i,j,a,b}=[\mathsf{W}{]}_{i,j,i+a,j+b}$$。索引$$a$$和$$b$$通过在正偏移和负偏移之间移动覆盖了整个图像。对于隐藏表示中任意给定位置$$(i,j)$$处的像素值$$[\mathbf{H}{]}_{i,j}$$，可以通过在$$x$$中以$$(i,j)$$为中心对像素进行加权求和得到，加权使用的权重为$$[\mathsf{V}{]}_{i,j,a,b}$$.

平移不变性

$$[\mathbf{H}{]}_{i,j}=u+\sum _a\sum _b[\mathbf{V}{]}_{a,b}[\mathbf{X}{]}_{i+a,j+b}.$$

这就是卷积。

局部性

为了收集用来训练参数$$[\mathbf{H}{]}_{i,j}$$的相关信息，我们不应该偏离到距$$(i,j)$$很远的地方。这意味着在$$|a|>\Delta$$或$$|b|>\Delta$$的范围之外，我们可以设置$$[\mathbf{V}{]}_{a,b}=0$$。因此我们可以将$$[\mathbf{H}{]}_{i,j}$$重写为

$$[\mathbf{H}{]}_{i,j}=u+\sum _{a=-\Delta }^{\Delta }\sum _{b=-\Delta }^{\Delta }[\mathbf{V}{]}_{a,b}[\mathbf{X}{]}_{i+a,j+b}.$$

简而言之，上述公式是一个卷积层，而卷积神经网络是包含卷积层的一类特殊的神经网络。在深度学习研究社区中，V被称为卷积核或者滤波器，亦或简单地称之为该卷积层的权重，通常该权重是可学习的参数。当图像处理的局部区域很小时，卷积神经网路与多层感知机的训练差异可能是巨大的：以前，多层感知机可能需要数十亿个参数来表示网络中的一层，而现在卷积神经网络通常只需要几百个参数，而且不需要改变输入或隐藏表示的维数。参数大幅减少的代价是，我们的特征现在是平移不变的，并且当确定每个隐藏活性值时，每一层只包含局部的信息。以上所有权证学习都依赖于归纳偏置。当着种偏置与现实相符时，我们就能得到样本有效的模型，并且这些模型能很好的泛化到未知数据中。但如果这偏置与现实不符时，比如当图像不满足平移不变时，我们的模型可能难以拟合我们的训练数据。

卷积

在数学中，两个函数（比如$$f,g:{\mathbb{R}}^d\to \mathbb{R}$$）之间的“卷积”被定义为

$$(f\ast g)(\mathbf{x})=\int f(\mathbf{z})g(\mathbf{x}-\mathbf{z})d\mathbf{z}.$$

也就是说，卷积是当把一个函数“翻转”并移位$$\mathbf{x}$$时，测量$$f$$和$$g$$之间的重叠。 当为离散对象时，积分就变成求和。例如，对于由索引为$$\mathbb{Z}$$的、平方可和的、无限维向量集合中抽取的向量，我们得到以下定义：

$$(f\ast g)(i)=\sum _{a}f(a)g(i-a).$$

对于二维张量，则为$$f$$的索引$$(a,b)$$和$$g$$的索引$$(i-a,j-b)$$上的对应加和：

$$(f\ast g)(i,j)=\sum _a\sum _{b}f(a,b)g(i-a,j-b).$$

通道

然而这种方法有一个问题：我们忽略了图像一般包含三个通道/三种原色（红色、绿色和蓝色）。 实际上，图像不是二维张量，而是一个由高度、宽度和颜色组成的三维张量，比如包含1024×1024×3个像素。 前两个轴与像素的空间位置有关，而第三个轴可以看作每个像素的多维表示。 因此，我们将$$X$$索引为$$[X{]}_{i,j,k}$$。由此卷积相应地调整为$$[V{]}_{a,b,c}$$，而不是$$[V{]}_{a,b}$$。

此外，由于输入图象是三维的，我们的隐藏表示$$H$$也最好采用三维张量。换句话说，对于每一个空间位置，我们想要采用一组而不是一个隐藏表示。这样一组隐藏表示可以想象成一些互相堆叠的二维网格。因此，我们可以把隐藏表示想象为一系列具有二维张量的通道。这些通道有时也被称为特征映射，因为每个通道。这些通道有时也被称为特征映射，因为每个通道都向后续层提供一组空间化的学习特征。直观上可以想象在靠近输入的底层，一些通道专门识别边缘，而一些通道专门识别纹理。

为了支持输入$$X$$和隐藏表示$$H$$中的多个通道，我们可以在$$V$$中添加第四个坐标，即$$[\mathsf{V}{]}_{a,b,c,d}$$。综上所述，

$$[\mathsf{H}{]}_{i,j,d}=\sum _{a=-\Delta }^{\Delta }\sum _{b=-\Delta }^{\Delta }\sum _c[\mathsf{V}{]}_{a,b,c,d}[\mathsf{X}{]}_{i+a,j+b,c},$$

其中隐藏表示$$H$$中的索引$$d$$表示输出通道，而随后的输出将继续以三维张量$$H$$作为输入进入下一个卷积层。 所以， 上式可以定义具有多个通道的卷积层，而其中$$V$$是该卷积层的权重。

2.图像卷积

互相关运算

严格来说，卷积层是个错误的叫法，因为它所表达的运算其实是互相关运算，而不是卷积运算。根据上一部分的介绍，在卷积层中，输入张量和核张量通过互相关运算产生输出张量。

首先，我们暂时忽略通道（第三维）这一情况，看看如何处理二维图像处理和隐藏表示。在下图中，输入是高度为3、宽度为3的二维张量（即形状为3×3）。卷积核的高度和宽度都是2，而卷积核窗口（或卷积窗口）的形状由内核的高度和宽度决定（即2×2）。

图6.2.1 二维互相关运算。阴影部分是第一个输出元素，以及用于计算输出的输入张量元素和核张量元素：0×0+1×1+3×2+4×3=19.

在二维互相关运算中，卷积窗口从输入张量的左上角开始，从左到右、从上到下滑动。 当卷积窗口滑动到新一个位置时，包含在该窗口中的部分张量与卷积核张量进行按元素相乘，得到的张量再求和得到一个单一的标量值，由此我们得出了这一位置的输出张量值。 在如上例子中，输出张量的四个元素由二维互相关运算得到，这个输出高度为2、宽度为2，如下所示：

$$\begin{array}{r}0\times 0+1\times 1+3\times 2+4\times 3=19,\\ 1\times 0+2\times 1+4\times 2+5\times 3=25,\\ 3\times 0+4\times 1+6\times 2+7\times 3=37,\\ 4\times 0+5\times 1+7\times 2+8\times 3=43.\end{array}$$

注意，输出大小略小于输入大小。这是因为卷积核的宽度和高度大于1， 而卷积核只与图像中每个大小完全适合的位置进行互相关运算。 所以，输出大小等于输入大小$$n_h\times n_w$$减去卷积核大小$$k_h\times k_w$$，即：

$$(n_h-k_h+1)\times (n_w-k_w+1).$$

这是因为我们需要足够的空间在图像上“移动”卷积核。稍后，我们将看到如何通过在图像边界周围填充零来保证有足够的空间移动卷积核，从而保持输出大小不变。 接下来，我们在corr2d函数中实现如上过程，该函数接受输入张量X和卷积核张量K，并返回输出张量Y。

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

def corr2d(X, K):  #@save
    """计算二维互相关运算"""
    h, w = K.shape
    Y = torch.zeros((X.shape[0] - h + 1, X.shape[1] - w + 1))
    for i in range(Y.shape[0]):
        for j in range(Y.shape[1]):
            Y[i, j] = (X[i:i + h, j:j + w] * K).sum()
    return Y
   
X = torch.tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
K = torch.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
corr2d(X, K)

输出：

tensor([[19., 25.],
        [37., 43.]])

卷积层

卷积层对输入和卷积核权重进行互相关运算，并在添加标量偏置之后产生输出。所以，卷积层中的两个被训练的参数是卷积核权重和标量偏置。就像我们之前随机初始化的全连接层一样，在训练基于卷积层的模型时，我们也随机初始化卷积核权重。

基于上面定义的corr2d函数实现二维卷积。在__ init __构造函数中，将weight和bias声明为两个模型参数。前向传播函数调用corr2d函数并添加偏置。

class Conv2D(nn.Module):
    def __init__(self, kernel_size):
        super().__init__()
        self.weight = nn.Parameter(torch.rand(kernel_size))
        self.bias = nn.Parameter(torch.zeros(1))

    def forward(self, x):
        return corr2d(x, self.weight) + self.bias

高度和宽度分别为$$h$$和$$w$$的卷积核可以被称为$$h\times w$$卷积或者$$h\times w$$卷积核。我们也将带有$$h\times w$$卷积核的卷积层称为$$h\times w$$卷积层。

图像中目标的边缘检测

如下是卷积层的一个简单应用：通过找到像素变化的位置，来检测图像中不同颜色的边缘。首先，我们构造一个6×8像素的黑白图像。中间四列d为黑色（0），其余像素为白色（1）。

X = torch.ones((6, 8))
X[:, 2:6] = 0
X

输出：

tensor([[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.]])

接下来构造一个宽度为1，高度为2的卷积核k。当进行互相关运算时，如果水平相邻的两元素相同，则输出为零，否则输出为非零。

K = torch.tensor([[1.0, -1.0]])

现在我们对参数x（输入）和k（卷积核）执行互相关运算。如下图所示，输出Y中的1代表从白色到黑色的边缘，-1代表从黑色到白色的边缘，其他情况的输出为零。

Y = corr2d(X, K)
Y

输出：

tensor([[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.]])

现在我们将输入的二维图像转置，再进行如上的互相关运算。 其输出如下，之前检测到的垂直边缘消失了。 不出所料，这个卷积核K只可以检测垂直边缘，无法检测水平边缘。

corr2d(X.t(), K)

学习卷积核

如果我们只需要寻找黑白边缘，那么以上[1,-1]的边缘检测器足以。然而，当有了更复杂数值的卷积核，或者连续的卷积层时，我们不可能手动设计滤波器。

现在来看看是否可以通过仅查看“输入-输出”对来学习由X生成Y的卷积核。我们先构造一个卷积层，并将其卷积核初始化为随机张量。接下来，在每次迭代中，我们比较Ｙ与卷积层输出的平方误差，然后计算梯度来更新卷积核。为了简单起见，我们在此使用内置的二维卷积层，并忽略偏置。

# 构造一个二维卷积层，它具有1个输出通道和形状为（1，2）的卷积核
conv2d = nn.Conv2d(1,1, kernel_size=(1, 2), bias=False)

# 这个二维卷积层使用四维输入和输出格式（批量大小、通道、高度、宽度），
# 其中批量大小和通道数都为1
X = X.reshape((1, 1, 6, 8))
Y = Y.reshape((1, 1, 6, 7))
lr = 3e-2  # 学习率

for i in range(10):
    Y_hat = conv2d(X)
    l = (Y_hat - Y) ** 2
    conv2d.zero_grad()
    l.sum().backward()
    # 迭代卷积核
    conv2d.weight.data[:] -= lr * conv2d.weight.grad
    if (i + 1) % 2 == 0:
        print(f'epoch {i+1}, loss {l.sum():.3f}')

输出：

epoch 2, loss 4.949
epoch 4, loss 0.831
epoch 6, loss 0.140
epoch 8, loss 0.024
epoch 10, loss 0.004
[07:16:32] ../src/base.cc:48: GPU context requested, but no GPUs found.

在10次迭代之后，误差已经降到足够低。现在我们来看看我们所学的卷积核的权重张量。

conv2d.weight.data.reshape((1, 2))

tensor([[ 1.0010, -0.9739]])

互相关卷积

回想一下我们在上一节观察到的互相关和卷积运算之间的对应关系。为了得到正式的卷积运算输出，我们需要执行上一节中定义的严格卷积运算，而不是互相关运算。幸运的是，他们差别不大，我们只需要水平和垂直翻转二维卷积核张量，然后对输入张量执行互相关运算。

值得注意的是，由于卷积核是从数据中学习得到的，因此无论这些层执行严格的卷积运算还是互相关运算，卷积层的输出都不会受到影响。为了说明这一点，假设卷积层执行互相关运算并学习上图中的卷积核，该卷积核在这里由矩阵$$K$$表示。假设其他条件不变，当这个层执行严格的卷积时，学习的卷积核$$K^{\prime }$$在水平和垂直翻转之后将与$$K$$相同。也就是说，当卷积层对上图中的输入和$$K^{\prime }$$执行严格卷积运算时，将得到与互相关运算相同的输出。

特征映射和感受野

如在 通道小结中所述，上图中输出的卷积层有时被称为特征映射（feature map），因为它可以被视为一个输入映射到下一层的空间维度的转换器。 在卷积神经网络中，对于某一层的任意元素$$x$$，其感受野（receptive field）是指在前向传播期间可能影响$$x$$计算的所有元素（来自所有先前层）。

请注意，感受野可能大于输入的实际大小。让我们用上图为例来解释感受野： 给定2×2卷积核，阴影输出元素值19的感受野是输入阴影部分的四个元素。 假设之前输出为Y，其大小为2×2，现在我们在其后附加一个卷积层，该卷积层以Y为输入，输出单个元素z。 在这种情况下，Y上的z的感受野包括Y的所有四个元素，而输入的感受野包括最初所有九个输入元素。 因此，当一个特征图中的任意元素需要检测更广区域的输入特征时，我们可以构建一个更深的网络。

3.填充和步幅

在前面的例子中，输入的高度和宽度都为3，卷积核的高度和宽度都为2，生成的输出表征的维数为2×2。正如我们在上一节所概括的那样，假设输入形状为$$n_h\times n_w$$，卷积核形状为$$k_h\times k_w$$，那么输出形状将是$$(n_h-k_h+1)\times (n_w-k_w+1)$$。因此，卷积的输出形状取决于输入形状和卷积核的形状。

还有什么因素会影响输出的大小呢？本节我们将介绍填充（padding）和步幅（stride）。假设以下情景：有时，在应用了连续的卷积之后，我们最终得到的输出远小于输入大小。这是由于卷积核的宽度和高度通常大于1所导致的。比如，一个240×240像素的图像，经过10层5×5的卷积后，将减少到200×200像素。如此一来，原始图像的边界丢失了许多有用的信息。而填充是解决此问题最有效的方法；有时，我们可能希望大幅降低图像的宽度和高度。例如，我们发现原始的输入分辨率十分冗余。步幅则可以在这类情况下提供帮助。

填充

填充就是为了保存边界元素，而在其周围填充上0元素。如图所示：

​ 图1

通常，如果我们添加$$p_h$$行填充（大约一半在顶部，一半在底部）和$$p_w$$列填充（左侧大约一半，右侧一半），则输出形状将为

$$(n_h-k_h+p_h+1)\times (n_w-k_w+p_w+1)。$$

这意味着输出的高度和宽度将分别增加$$p_h$$和$$p_w$$。

在许多情况下，我们需要设置$$p_h=k_h-1$$和$$p_w=k_w-1$$，使输入和输出具有相同的高度和宽度。 这样可以在构建网络时更容易地预测每个图层的输出形状。假设$$k_h$$是奇数，我们将在高度的两侧填充$$p_h/2$$行。 如果$$k_h$$是偶数，则一种可能性是在输入顶部填充$$\lceil p_h/2\rceil$$行，在底部填充$$\lfloor p_h/2\rfloor$$行。同理，我们填充宽度的两侧。

卷积神经网络中卷积核的高度和宽度通常为奇数，例如1、3、5或7。 选择奇数的好处是，保持空间维度的同时，我们可以在顶部和底部填充相同数量的行，在左侧和右侧填充相同数量的列。

此外，使用奇数的核大小和填充大小也提供了书写上的便利。对于任何二维张量X，当满足： 1. 卷积核的大小是奇数； 2. 所有边的填充行数和列数相同； 3. 输出与输入具有相同高度和宽度 则可以得出：输出Y[i, j]是通过以输入X[i, j]为中心，与卷积核进行互相关计算得到的。

比如，在下面的例子中，我们创建一个高度和宽度为3的二维卷积层，并在所有侧边填充1个像素。给定高度和宽度为8的输入，则输出的高度和宽度也是8。

import torch
from torch import nn


# 为了方便起见，我们定义了一个计算卷积层的函数。
# 此函数初始化卷积层权重，并对输入和输出提高和缩减相应的维数
def comp_conv2d(conv2d, X):
    # 这里的（1，1）表示批量大小和通道数都是1
    X = X.reshape((1, 1) + X.shape)
    Y = conv2d(X)
    # 省略前两个维度：批量大小和通道
    return Y.reshape(Y.shape[2:])

# 请注意，这里每边都填充了1行或1列，因此总共添加了2行或2列
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1) 
# kernel_size 卷积核的大小   padding是填充的大小 这里指上下左右填充都为1
X = torch.rand(size=(8, 8))
comp_conv2d(conv2d, X).shape

torch.Size([8, 8])

当卷积核的高度和宽度不同时，我们可以填充不同的高度和宽度，使输出和输入具有相同的高度和宽度。在如下示例中，我们使用高度为5，宽度为3的卷积核，高度和宽度两边的填充分别为2和1。

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(5, 3), padding=(2, 1))
# 卷积核的大小是一个5×3的矩阵  填充是上下填充2，左右填充1
comp_conv2d(conv2d, X).shape

同时也保证输出的大小不变

torch.Size([8, 8])

步幅

在计算互相关时，卷积窗口从输入张量的左上角开始，向下、向右滑动。 在前面的例子中，我们默认每次滑动一个元素。 但是，有时候为了高效计算或是缩减采样次数，卷积窗口可以跳过中间位置，每次滑动多个元素。

我们将每次滑动元素的数量称为步幅（stride）。到目前为止，我们只使用过高度或宽度为1的步幅，那么如何使用较大的步幅呢？ 图2是垂直步幅为3，水平步幅为2的二维互相关运算。 着色部分是输出元素以及用于输出计算的输入和内核张量元素：0×0+0×1+1×2+2×3=8、0×0+6×1+0×2+0×3=6。

可以看到，为了计算输出中第一列的第二个元素和第一行的第二个元素，卷积窗口分别向下滑动三行和向右滑动两列。但是，当卷积窗口继续向右滑动两列时，没有输出，因为输入元素无法填充窗口（除非我们添加另一列填充）。

图2

通常，当垂直步幅为$$s_h$$、水平步幅为$$s_w$$时，输出形状为

$$\lfloor (n_h-k_h+p_h+s_h)/s_h\rfloor \times \lfloor (n_w-k_w+p_w+s_w)/s_w\rfloor .$$

如果我们设置了$$p_h=k_h-1$$和$$p_w=k_w-1$$，则输出形状将简化为

$$\lfloor (n_h+s_h-1)/s_h\rfloor \times \lfloor (n_w+s_w-1)/s_w\rfloor$$则输出形状将简化为$$\lfloor (n_h+s_h-1)/s_h\rfloor \times \lfloor (n_w+s_w-1)/s_w\rfloor$$。 更进一步，如果输入的高度和宽度可以被垂直和水平步幅整除，则输出形状将为$$(n_h/s_h)\times (n_w/s_w)$$。

下面，我们将高度和宽度的步幅设置为2，从而将输入的高度和宽度减半

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1, stride=2)
# 步幅为2
comp_conv2d(conv2d, X).shape

输出：

torch.Size([4, 4])

接下来，看一个稍微复杂的例子。

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(3, 5), padding=(0, 1), stride=(3, 4))
# 行的步幅为3，列的步幅为4
comp_conv2d(conv2d, X).shape

输出：

torch.Size([2, 2])

为了简洁起见，当输入高度和宽度两侧的填充数量分别为$$p_h$$和$$p_w$$时，我们称之为填充$$(p_h,p_w)$$。当$$p_h=p_w=p$$时，填充是p。同理，当高度和宽度上的步幅分别为$$s_h$$和$$s_w$$时，我们称之为步幅$$(s_h,s_w)$$。特别地，当$$s_h=s_w=s$$时，我们称步幅为$$s$$。默认情况下，填充为0，步幅为1。在实践中，我们很少使用不一致的步幅或填充，也就是说，我们通常有$$p_h=p_w$$和$$s_h=s_w$$。

4.多输入多输出通道

虽然我们在通道那一节中描述了构成每个图像的多个通道和多层卷积层。但是目前只实验了但输入单输出层。这使得我们可以将输入、卷积核和输出看作二维张量。

当我们添加通道时，我们的输入和隐藏的表示都变成了三维张量。

多输入通道

当输入包含多个输入时，需要构造一个与输入数据具有相同输入通道的卷积核，以便与输入数据进行互相关运算。假设输入的通道数为$$c_i$$，那么卷积核的输入通道数也需要为$$c_i$$。如果卷积核的窗口形状是$$k_h\times k_w$$的二维张量。

然而，当$$c_i>1$$，我们卷积核的每个输入通道将包含形状为$$k_h\times k_w$$的张量。将这些张量$$c_i$$连结在一起可以得到形状为$$c_i\times k_h\times k_w$$的卷积核。由于输入和卷积核都有$$c_i$$个通道，我们可以对每个通道输入的二维张量和卷积核的二维张量进行互相关运算，再对通道求和（将$$c_i$$的结果相加）得到二维张量。这是多通道输入和多输入通道卷积核之间进行二维互相关运算的结果。

在 图6.4.1中，我们演示了一个具有两个输入通道的二维互相关运算的示例。阴影部分是第一个输出元素以及用于计算这个输出的输入和核张量元素：

$$(1\times 1+2\times 2+4\times 3+5\times 4)+(0\times 0+1\times 1+3\times 2+4\times 3)=56$$

为了加深理解，我们实现一下多输入通道互相关运算。 简而言之，我们所做的就是对每个通道执行互相关操作，然后将结果相加。

import torch
from d2l import torch as d2l

def corr2d_multi_in(X, K):
    # 先遍历“X”和“K”的第0个维度（通道维度），再把它们加在一起
    return sum(d2l.corr2d(x, k) for x, k in zip(X, K))

X = torch.tensor([[[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]],
               [[1.0, 2.0, 3.0], [4.0, 5.0, 6.0], [7.0, 8.0, 9.0]]])
K = torch.tensor([[[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]], [[1.0, 2.0], [3.0, 4.0]]])

corr2d_multi_in(X, K)

输出：

tensor([[ 56.,  72.],
        [104., 120.]])

多输出通道

到目前为止，不论有多少输入通道，我们还只有一个输出通道。然而，正如我们在 通道中所讨论的，每一层有多个输出通道是至关重要的。在最流行的神经网络架构中，随着神经网络层数的加深，我们常会增加输出通道的维数，通过减少空间分辨率以获得更大的通道深度。直观地说，我们可以将每个通道看作对不同特征的响应。而现实可能更为复杂一些，因为每个通道不是独立学习的，而是为了共同使用而优化的。因此，多输出通道并不仅是学习多个单通道的检测器。

用$$c_i$$和$$c_o$$分别表示输入和输出通道的数目，并让$$k_h$$和$$k_w$$为卷积核的高度和宽度。为了获得多个通道的输出，我们可以为每个输出通道创建一个形状为$$c_o\times k_h\times k_w$$的卷积核张量**(可以理解为有$$c_i$$个$$k_h\times k_w$$的卷积核，每一个卷积核对应一个输出通道)**，这样卷积核的形状是$$c_o\times c_i\times k_h\times k_w$$。在互相关运算中，每个输出通道先获取所有输入通道，再以对应该输出通道的卷积核计算出结果。

如下所示，我们实现一个计算多个通道的输出的互相关函数。

def corr2d_multi_in_out(X, K):
    # 迭代“K”的第0个维度，每次都对输入“X”执行互相关运算。
    # 最后将所有结果都叠加在一起
    return torch.stack([corr2d_multi_in(X, k) for k in K], 0)
K = torch.stack((K, K + 1, K + 2), 0)
K.shape,K

输出：

torch.Size([3, 2, 2, 2])
tensor([[[[0., 1.],
           [2., 3.]],
 
          [[1., 2.],
           [3., 4.]]],
 
 
         [[[1., 2.],
           [3., 4.]],
 
          [[2., 3.],
           [4., 5.]]],
 
 
         [[[2., 3.],
           [4., 5.]],
 
          [[3., 4.],
           [5., 6.]]]]))

corr2d_multi_in_out(X, K)

输出：

tensor([[[ 56.,  72.],
         [104., 120.]],

        [[ 76., 100.],
         [148., 172.]],

        [[ 96., 128.],
         [192., 224.]]])

1×1卷积层

1×1卷积，即$$k_h=k_w=1$$，看起来似乎没有多大意义。 毕竟，卷积的本质是有效提取相邻像素间的相关特征，而1×1卷积显然没有此作用。 尽管如此，1×1仍然十分流行，经常包含在复杂深层网络的设计中。下面，让我们详细地解读一下它的实际作用。

因为使用了最小窗口，1×1卷积失去了卷积层的特有能力——在高度和宽度维度上，识别相邻元素间相互作用的能力。 其实1×1卷积的唯一计算发生在通道上。

图6.4.2展示了使用1×1卷积核与3个输入通道和2个输出通道的互相关计算。 这里输入和输出具有相同的高度和宽度，输出中的每个元素都是从输入图像中同一位置的元素的线性组合。 我们可以将1×1卷积层看作在每个像素位置应用的全连接层，以$$c_i$$个输入值转换为$$c_o$$个输出值。 因为这仍然是一个卷积层，所以跨像素的权重是一致的。 同时，1×1卷积层需要的权重维度为$$c_o\times c_i$$，再额外加上一个偏置。

def corr2d_multi_in_out_1x1(X, K):
    c_i, h, w = X.shape
    c_o = K.shape[0]
    X = X.reshape((c_i, h * w))
    K = K.reshape((c_o, c_i))
    # 全连接层中的矩阵乘法
    Y = torch.matmul(K, X)
    return Y.reshape((c_o, h, w))
   
X = torch.normal(0, 1, (3, 3, 3))
K = torch.normal(0, 1, (2, 3, 1, 1))

Y1 = corr2d_multi_in_out_1x1(X, K)
Y2 = corr2d_multi_in_out(X, K)
assert float(torch.abs(Y1 - Y2).sum()) < 1e-6

5汇聚层（池化层）

通常当我们处理图像时，我们希望逐渐降低隐藏表示的空间分辨率、聚合信息，这样随着我们在神经网络中层叠的上升，每个神经元对其敏感的感受野（输入）就越大。

而我们的机器学习任务通常会跟全局图像的问题有关（例如，“图像是否包含一只猫？”），所以我们最后一层的神经元应该对整个输入的全局敏感。通过逐渐聚合信息，生成越来越粗糙的映射，最终实现学习全局表示的目标，同时将卷积图层的所有优势保留在中间层。

此外，当检测较低层的特征时（例如图像卷积节中所讨论的边缘），我们通常希望这些特征保持某种程度上的平移不变性。例如，如果我们拍摄黑白之间轮廓清晰的图像X，并将整个图像向右移动一个像素，即$$Z[i,j]=X[i,j+1]$$，则新图像z的输出可能大不相同。而在现实中，随着拍摄角度的移动，任何物体几乎不可能发生在同一像素上。即使用三脚架拍摄一个静止的物体，由于快门的移动而引起的相机振动，可能会使所有物体左右移动一个像素（除了高端相机配备了特殊功能来解决这个问题）。

本节将介绍汇聚层（pooling）层，它具有双重目的：降低卷积层对位置的敏感性，同时降低对空间采样表示的敏感性。

最大汇聚层和平均汇聚层

与卷积层类似，汇聚层运算符由一个固定形状的窗口组成，该窗口根据其步幅大小在输入的所有区域上滑动，为固定形状窗口（有时称为汇聚窗口）遍历的每个位置计算一个输出。然而，不同于卷积层中的输入与卷积核之间的互相关计算，汇聚层不包含参数。相反，池运算时确定性的，我们通常计算汇聚窗口中所有元素的最大值和平均值。这些操作分别称为最大汇聚层（maximum pooling）和平均汇聚层（average pooling）。

在这两种情况下，与互相关运算符一样，汇聚窗口从输入张量的左上角开始，从左向右、从上往下的在输入张量内滑动。在汇聚窗口达到的每个位置，他计算该窗口中输入子张量的最大值或平均值。计算最大值或平均值是取决于使用了最大汇聚层还是平均汇聚层。

图6.5.1中的输出张量的高度为2，宽度为2。这四个元素为每个汇聚窗口中的最大值：

$$\begin{array}{r}\max (0,1,3,4)=4,\\ \max (1,2,4,5)=5,\\ \max (3,4,6,7)=7,\\ \max (4,5,7,8)=8.\end{array}$$

汇聚窗口形状为p×q的汇聚层称为p×q汇聚层，汇聚操作称为p×q汇聚。

回到本节开头提到的对象边缘检测示例，现在我们将使用卷积层的输出作为2×2最大汇聚的输入。 设置卷积层输入为X，汇聚层输出为Y。 无论X[i, j]和X[i, j + 1]的值相同与否，或X[i, j + 1]和X[i, j + 2]的值相同与否，汇聚层始终输出Y[i, j] = 1。 也就是说，使用2×2最大汇聚层，即使在高度或宽度上移动一个元素，卷积层仍然可以识别到模式。

在下面的代码中的pool2d函数，我们实现汇聚层的前向传播。 这类似于图像卷积中的corr2d函数。 然而，这里我们没有卷积核，输出为输入中每个区域的最大值或平均值。

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

def pool2d(X, pool_size, mode='max'):
    p_h, p_w = pool_size
    Y = torch.zeros((X.shape[0] - p_h + 1, X.shape[1] - p_w + 1))
    for i in range(Y.shape[0]):
        for j in range(Y.shape[1]):
            if mode == 'max':
                Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].max()
            elif mode == 'avg':
                Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].mean()
    return Y

X = torch.tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))

输出：

tensor([[4., 5.],
        [7., 8.]])

pool2d(X, (2, 2), 'avg')

输出：

tensor([[2., 3.],
        [5., 6.]])

填充和步幅

与卷积层一样，汇聚层也可以改变输出形状。和以前一样，我们可以通过填充和步幅以获得所需的输出形状。 下面，我们用深度学习框架中内置的二维最大汇聚层，来演示汇聚层中填充和步幅的使用。 我们首先构造了一个输入张量X，它有四个维度，其中样本数和通道数都是1。

X = torch.arange(16, dtype=torch.float32).reshape((1, 1, 4, 4))
X

输出：

tensor([[[[ 0.,  1.,  2.,  3.],
          [ 4.,  5.,  6.,  7.],
          [ 8.,  9., 10., 11.],
          [12., 13., 14., 15.]]]])

默认情况下，深度学习框架中的步幅与汇聚窗口的大小相同。 因此，如果我们使用形状为(3, 3)的汇聚窗口，那么默认情况下，我们得到的步幅形状为(3, 3)。

pool2d = nn.MaxPool2d(3)
pool2d(X)

输出：

tensor([[[[10.]]]])

pool2d = nn.MaxPool2d(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)

输出：

tensor([[[[ 5.,  7.],
          [13., 15.]]]])

当然，我们可以设定一个任意大小的矩形汇聚窗口，并分别设定填充和步幅的高度和宽度。

pool2d = nn.MaxPool2d((2, 3), stride=(2, 3), padding=(0, 1))
pool2d(X)

tensor([[[[ 5.,  7.],
          [13., 15.]]]])

多个通道

在处理多通道输入数据时，汇聚层在每个输入通道上单独运算，而不是像卷积层一样在通道上对输入进行汇总。 这意味着汇聚层的输出通道数与输入通道数相同。 下面，我们将在通道维度上连结张量X和X + 1，以构建具有2个通道的输入。

X = torch.cat((X, X + 1), 1)
X

输出：

tensor([[[[ 0.,  1.,  2.,  3.],
          [ 4.,  5.,  6.,  7.],
          [ 8.,  9., 10., 11.],
          [12., 13., 14., 15.]],

         [[ 1.,  2.,  3.,  4.],
          [ 5.,  6.,  7.,  8.],
          [ 9., 10., 11., 12.],
          [13., 14., 15., 16.]]]])

如下所示，汇聚后输出通道的数量仍然是2。

pool2d = nn.MaxPool2d(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)

输出：

tensor([[[[ 5.,  7.],
          [13., 15.]],

         [[ 6.,  8.],
          [14., 16.]]]])

6.卷积神经网络（LeNet）

之前我们将softmax回归模型和多层感知机模型应用于Fashion-MNIST数据集中的服装图片。为了能够应用softmax回归和多层感知机，首先将每个大小为28×28的图像展平为一个784维的固定长度的一维向量，然后用全连接层对其进行处理。而现在，已经学习了卷积层的处理方法，可以在图像中保留空间结构。同时，用卷积层代替全连接层的另一个好处是：模型更简洁、所需参数更少。

LeNet

LeNet（LeNet-5）由两个部分组成：

• 卷积编码器：由两个卷积层组成
• 全连接层密集块：由三个全连接层组成

该架构如 图6.6.1所示。

每个卷积块中的基本单元是一个卷积层、一个sigmoid激活函数和平均汇聚层。虽然ReLU和最大汇聚层更有效。每个卷积层使用5×5卷积核和一个sigmoid激活函数。这些层将输入映射到多个二维特征输出，通常同时增加通道的数量。第一卷积层有6个输出通道，而第二个卷积层有16个输出通道。每个2×2池操作（步幅2）通过空间下采样将维数减少4倍。卷积的输出形状由批量大小、通道数、高度、宽度决定。

为了将卷积块的输出传递给稠密块，我们必须在小批量中展平每个样本。换言之，我们将这个四维输入转换成全连接层所期望的二维输入。这里的二维表示的第一个维度索引小批量中的样本，第二个维度给出每个样本的平面向量表示。LeNet的稠密块有三个全连接层，分别有120、84和10个输出。因为我们在执行分类任务，所以输出层的10维对应于最后输出结果的数量。

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

net = nn.Sequential(
    nn.Conv2d(1, 6, kernel_size=5, padding=2), nn.Sigmoid(),
    nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2),
    nn.Conv2d(6, 16, kernel_size=5), nn.Sigmoid(),
    nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2),
    nn.Flatten(),
    nn.Linear(16 * 5 * 5, 120), nn.Sigmoid(),
    nn.Linear(120, 84), nn.Sigmoid(),
    nn.Linear(84, 10))

为了检查我们设定的模型是否是根据要求设定的，我们将一个大小为28×28的单通道（黑白）图像通过LeNet，然后通过每一层打印输出的形状。

X = torch.rand(size=(1, 1, 28, 28), dtype=torch.float32)
for layer in net:
    X = layer(X)
    print(layer.__class__.__name__,'output shape: \t',X.shape)

输出：

Conv2d output shape:         torch.Size([1, 6, 28, 28])
Sigmoid output shape:        torch.Size([1, 6, 28, 28])
AvgPool2d output shape:      torch.Size([1, 6, 14, 14])
Conv2d output shape:         torch.Size([1, 16, 10, 10])
Sigmoid output shape:        torch.Size([1, 16, 10, 10])
AvgPool2d output shape:      torch.Size([1, 16, 5, 5])
Flatten output shape:        torch.Size([1, 400])
Linear output shape:         torch.Size([1, 120])
Sigmoid output shape:        torch.Size([1, 120])
Linear output shape:         torch.Size([1, 84])
Sigmoid output shape:        torch.Size([1, 84])
Linear output shape:         torch.Size([1, 10])

在整个卷积块中，与上一层相比，每一层特征的高度和宽度都减小了。 第一个卷积层使用2个像素的填充，来补偿5×5卷积核导致的特征减少。 相反，第二个卷积层没有填充，因此高度和宽度都减少了4个像素。 随着层叠的上升，通道的数量从输入时的1个，增加到第一个卷积层之后的6个，再到第二个卷积层之后的16个。 同时，每个汇聚层的高度和宽度都减半。最后，每个全连接层减少维数，最终输出一个维数与结果分类数相匹配的输出。

模型训练

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size=batch_size)

def evaluate_accuracy_gpu(net, data_iter, device=None): #@save
    """使用GPU计算模型在数据集上的精度"""
    if isinstance(net, nn.Module):
        net.eval()  # 设置为评估模式
        if not device:
            device = next(iter(net.parameters())).device
    # 正确预测的数量，总预测的数量
    metric = d2l.Accumulator(2)
    with torch.no_grad():
        for X, y in data_iter:
            if isinstance(X, list):
                # BERT微调所需的（之后将介绍）
                X = [x.to(device) for x in X]
            else:
                X = X.to(device)
            y = y.to(device)
            metric.add(d2l.accuracy(net(X), y), y.numel())
    return metric[0] / metric[1]
    
#@save
def train_ch6(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, device):
    """用GPU训练模型(在第六章定义)"""
    def init_weights(m):
        if type(m) == nn.Linear or type(m) == nn.Conv2d:
            nn.init.xavier_uniform_(m.weight)
    net.apply(init_weights)
    print('training on', device)
    net.to(device)
    optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)
    loss = nn.CrossEntropyLoss()
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs],
                            legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])
    timer, num_batches = d2l.Timer(), len(train_iter)
    for epoch in range(num_epochs):
        # 训练损失之和，训练准确率之和，样本数
        metric = d2l.Accumulator(3)
        net.train()
        for i, (X, y) in enumerate(train_iter):
            timer.start()
            optimizer.zero_grad()
            X, y = X.to(device), y.to(device)
            y_hat = net(X)
            l = loss(y_hat, y)
            l.backward()
            optimizer.step()
            with torch.no_grad():
                metric.add(l * X.shape[0], d2l.accuracy(y_hat, y), X.shape[0])
            timer.stop()
            train_l = metric[0] / metric[2]
            train_acc = metric[1] / metric[2]
            if (i + 1) % (num_batches // 5) == 0 or i == num_batches - 1:
                animator.add(epoch + (i + 1) / num_batches,
                             (train_l, train_acc, None))
        test_acc = evaluate_accuracy_gpu(net, test_iter)
        animator.add(epoch + 1, (None, None, test_acc))
    print(f'loss {train_l:.3f}, train acc {train_acc:.3f}, '
          f'test acc {test_acc:.3f}')
    print(f'{metric[2] * num_epochs / timer.sum():.1f} examples/sec '
          f'on {str(device)}')
lr, num_epochs = 0.9, 10
train_ch6(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())  

   metric.add(l * X.shape[0], d2l.accuracy(y_hat, y), X.shape[0])
        timer.stop()
        train_l = metric[0] / metric[2]
        train_acc = metric[1] / metric[2]
        if (i + 1) % (num_batches // 5) == 0 or i == num_batches - 1:
            animator.add(epoch + (i + 1) / num_batches,
                         (train_l, train_acc, None))
    test_acc = evaluate_accuracy_gpu(net, test_iter)
    animator.add(epoch + 1, (None, None, test_acc))
print(f'loss {train_l:.3f}, train acc {train_acc:.3f}, '
      f'test acc {test_acc:.3f}')
print(f'{metric[2] * num_epochs / timer.sum():.1f} examples/sec '
      f'on {str(device)}')

lr, num_epochs = 0.9, 10
train_ch6(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())

![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/b8aad216d67e4762bf87da3ddbb5262e.png#pic_center)