格密码基础：光滑参数

一. 铺垫高斯函数

二. 光滑参数图形理解

三. 光滑参数与格基本区

3.1 高斯与均匀分布的统计距离

3.2 光滑参数理解

四. 光滑参数与最短向量

五. 光滑参数与连续最小值

六. 光滑参数与对偶格的上界

七. 光滑参数与格的上界

八. 小结

一. 铺垫高斯函数

定义高斯密度函数如下：

$\rho_s(x)=e^{-\pi||x/s||^2}$

进一步形成新的高斯密度函数：

$v_s(x)=\rho_s(x)/s^n$

注意此处的函数输入为N维，也就是 $x\in R^n$ 。根据高斯函数对长度的限制，可得：

$P[||x||\leq \sqrt ns]=1-2^{-\Omega(n)}$

二. 光滑参数图形理解

首先，我们均匀选择一些格点，以二维为例子，这些格点处对应的概率大致相等。接着，我们把每个格点外加一个高斯噪声，可得：

当我们增大高斯噪声的方差，图形会变成：

如果继续增大高斯噪声会出现：

很明显当s越来越大后，图形会越来越接近均匀分布。在网络安全中，均匀分布非常重要，格的光滑参数就是研究当s取多大时，此均匀分布会出现。

三. 光滑参数与格基本区

3.1 高斯与均匀分布的统计距离

格 $\Lambda$ 的格基记为B，格基本区写做P(B)，基本区上的均匀分布为：

$U(x)=\frac{1}{det(\Lambda)}$

对偶格的行列式与格的行列式互为倒数，所以可得：

$U(x)=\frac{1}{det(\Lambda)}=det(\Lambda^*)$

高斯函数记为 $v_s(x)$ ，将高斯函数中的每个点都模基本区（mod P(B)），可以得到新的函数分布：

第一个等号：Y(x)分布的意义， $x'$ 与x在模基本区下相等；

第二个等号： $v_s(x)$ 与 $\rho_s(x)$ 之间的关系，另外基本区内的点加上所有的格点，可以遍历整个扩展空间内的点；

利用泊松求和公式以及傅里叶变换的性质，对分布Y(x)进一步运算可得：

如果有人感兴趣这一步的证明，欢迎留言，以后可以补上。

现在我们来计算新得到的分布Y(x)与均匀分布U(x)之间的统计距离，如下：

取该距离的上限，基本区的体积记为格行列式的值，再带入Y(x)的表达式，可得：

指数 $e^{2\pi i\langle \omega,x\rangle}$ 的取值不会超过1，对偶格的行列式与格的行列式互为倒数，进一步化简可得：

将以上，总结为形式化的定义可得：

3.2 光滑参数理解

以上讨论告诉我们：

$\Delta(Y,U)\leq \frac{1}{2}\rho_{1/s}(\Lambda^* \backslash \lbrace0\rbrace)$

最小的s，使其满足：

$\rho_{1/s}(\Lambda^* \backslash \lbrace0\rbrace)\leq \epsilon$

对应的s就被称之为格的光滑参数，记作 $\eta_\epsilon(\Lambda)$

很明显，当s越来越小时， $\rho_{1/s}(\Lambda^* \backslash \lbrace0\rbrace)$ 越来越大，也就是：

$lim_{s\to 0}\rho_{1/s}(\Lambda^* \backslash \lbrace0\rbrace)=\infty$

当s越来越大时， $\rho_{1/s}(\Lambda^* \backslash \lbrace0\rbrace)$ 越来越小，也就是：

$lim_{s\to \infty}\rho_{1/s}(\Lambda^* \backslash \lbrace0\rbrace)=0$

所以可以把 $\rho_{1/s}(\Lambda^* \backslash \lbrace0\rbrace)$ 看成关于s的函数，并且该函数为连续型且严格单调递减的函数。

以下理解非常重要。

也就是说，当高斯函数的标准差s大于光滑参数时，也就是：

$s\geq \eta_\epsilon(\Lambda)$

可得高斯函数 $v_s$ 与均匀分布之间的距离最多为 $1/2\epsilon$ （注意两个分布均定义在基本区P(B)上）。光滑参数是连接高斯分布与均匀分布很好的桥梁。

四. 光滑参数与最短向量

当 $\epsilon<1/100$ 时，可得光滑参数的下界：

$\eta_\epsilon(\Lambda)\geq \frac{1}{\lambda_1(\Lambda^*)}$

证明：

令高斯分布的参数s等于对偶格最短向量的倒数，于是：

$s=\frac{1}{\lambda_1(\Lambda^*)}$

令y代表对偶格的最短向量，也就是：

$y\in \Lambda^*\quad ||y||=\lambda_1(\Lambda^*)$

带入运算可得：

证明完毕。

五. 光滑参数与连续最小值

结合转移定理（Banaszczyk transference theorem），以上定理可得：

当 $\epsilon<1/100$ 时，可得光滑参数的下界：

$\eta_\epsilon(\Lambda)\geq \frac{1}{n}\lambda_n(\Lambda)$

六. 光滑参数与对偶格的上界

当 $\epsilon\geq 2^{-n+1}$ ，可得光滑参数的上界：

$\eta_\epsilon(\Lambda)\leq \frac{\sqrt n}{\lambda_1(\Lambda^*)}$

证明：

令高斯分布的参数s等于：

$s=\frac{\sqrt n}{\lambda_1(\Lambda^*)}$

带入高斯分布中运算可得：

第一个等号：高斯函数的性质；

第二个不等号：对偶格的性质 $\lambda_1(s\Lambda^*)\geq \sqrt n$

所以可得：

$\rho_{1/s}(\Lambda^* \backslash \lbrace0\rbrace)\leq 2^{-n+1}$

证明完毕。

七. 光滑参数与格的上界

当 $\epsilon\geq 2^{-n+1}$ ，可得光滑参数的上界：

$\eta_\epsilon(\Lambda)\leq \sqrt n\lambda_n(\Lambda)$

利用转移定理结合上一个性质即可证明。

其实这个界还不够紧致，实际上，当 $\epsilon\geq n^{-logn}$ 时，光滑参数的上界为：

$\eta_\epsilon(\Lambda)\leq logn\cdot \lambda_n(\Lambda)$

八. 小结

格理论的研究起源于 17-19 世纪，数学家 Kepler 和 Gaussian 研究在低维空间中堆放等半径的小球，当所有球的球心构成一个格时，计算得出了堆积球密度的最大值。在19 世纪中叶，Minkowski 和 Hermit 等数学家逐渐发展了格堆积理论和格覆盖理论。计算球的最大格堆积密度相当于在格点中求解最短向量问题（Shortest Vector Problem， SVP），计算球的最小覆盖密度相当于在格点中求解最近格点问题（Closest Vector Problem， CVP），两者都是格密码的核心数学难题。

1998 年， Ajtai 证明了SVP在 $l_2$ 范数下，当近似因子小于 $\gamma=1+1/2^{n^\epsilon}$ 时是 NP-Hard 的，即不存在多项式时间的算法可以求解近似版本 SVP（Approximate Shortest Vector Problem， $SVP_\gamma$ ）。在保证SVP在 $l_0$ 和 $l_\infty$ 范数下是NP-hard的同时，计算出近似因子的上界为 $2-\epsilon$ 和 $n^{clog(log(n))}$ 。2003年，Dinur等计算出当近似因子为 $n^{clog(log(n))}$ 时，近似版本 CVP（Approximate Closest Vector Problem）是 NP-hard 的。
算法复杂性理论研究基于求解问题所要花费的时间、空间资源（比特数、带数、逻辑门数）等。通过考察求解某个问题的不同算法复杂程度来衡量问题的难易程度．由此将问题划分为不同的类型：

经典复杂性分类	定义
P	确定型单带图灵机在多项式时间内可判定的语言类
NP	某个非确定型多项式时间图灵机判定的语言类
NPC	NP 问题子集，可以通过多项式时间算法归约到一个 NP 问题上

格上困难问题是计算复杂性理论的重要研究内容，基于格的密码方案的可证明安全性依赖格上问题的难解度，格上许多困难问题在目前已被证明是NP难的，其中包括最短线性无关向量问题（SIVP），短整数解问题（SIS）。 SIVP 问题和 SIS 问题都可以归约到格上最差情况的困难问题，所以有些格密码方案是基于上述困难问题设定，其在标准模型下该网络安全方案是具有抗量子的特效。

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