第三部分连续型需要的积分

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温馨提示：

求积分

求分段函数在确定区间的定积分

方法：

例1

例2

例3

例4

例5

例6

例7

求分段函数在到未知数的定积分

方法：

例8

求简单的二重积分

方法：

例9

例10

例11

求f(x,y)的二重积分

方法：

例12

例13

例14

温馨提示：

因为接下来的学习要用到积分，所以在这里补充一节，如果高等数学学的不错可以跳过本节

求积分

求分段函数在确定区间的定积分

方法：

①画出待求积分的上下限区域
②根据f不同的取值范围，将区域分成几段

③令待求积分=第一段区域积分+第二段区域积分+...

例1

已知，试求 $\int_{0}^{2}f_{x}(x)dx$

解

根据取值范围来看分成两个部分，所以积分需要分两个部分求

[0,1)区间为1，其他区间为0
$\int_{0}^{2}f_{x}(x)dx$ $=\int_{0}^{1}f_{x}(x)dx+\int_{1}^{2}f_{x}(x)dx$

$=\int_{0}^{1}1dx+\int_{1}^{2}0dx$

$=x|_{x=0}^{x=1}+0$

$=(1-0)+0$

$=1$

例2

已知，试求 $\int_{-\infty }^{+\infty }xf_{x}(x)dx$

解

$\int_{-\infty }^{+\infty }xf_{x}(x)dx$ $=\int_{-\infty }^{0}xf_{x}(x)dx+\int_{0}^{1}xf_{x}(x)dx+\int_{1 }^{+\infty}xf_{x}(x)dx$

   $=\int_{-\infty }^{0}x0dx+\int_{0}^{1}x1dx+\int_{1 }^{+\infty}x0dx$

   $=0+(\frac{1}{2}x^2)|_{x=0}^{x=1}+0$

   $=0+(\frac{1}{2}\times 1^{2}-\frac{1}{2}\times 0^{2})+0$

   $=\frac{1}{2}$

例3

已知，试求 $\int_{-\infty }^{+\infty }x^{2}f_{x}(x)dx$

解
$\int_{-\infty }^{+\infty }x^{2}f_{x}(x)dx$ $=\int_{-\infty }^{0}x^{2}f_{x}(x)dx+\int_{0}^{1}x^{2}f_{x}(x)dx+\int_{1 }^{+\infty}x^{2}f_{x}(x)dx$

   $=\int_{-\infty }^{0}x^{2}0dx+\int_{0}^{1}x^{2}1dx+\int_{1 }^{+\infty}x^{2}0dx$

   $=0+(\frac{1}{3}x^3)|_{x=0}^{x=1}+0$

   $=0+(\frac{1}{3}\times 1^{3}-\frac{1}{3}\times 0^{3})+0$

                             $=\frac{1}{3}$

例4

已知，试求 $\int_{-\infty }^{+\infty }f_{x}(x)dx$

解

$\int_{-\infty }^{+\infty }f_{x}(x)dx$ $=\int_{-\infty }^{0}f_{x}(x)dx+\int_{0}^{1}f_{x}(x)dx+\int_{1 }^{+\infty}f_{x}(x)dx$

   $=\int_{-\infty }^{0}0dx+\int_{0}^{1}adx+\int_{1 }^{+\infty}0dx$

   $=0+(ax)|_{x=0}^{x=1}+0$

                         $=0+(a\times 1-a\times 0)+0$

   $=a$

例5

已知，2y<0,试求 $\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx$

解

$\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx$ $=\int_{-\infty }^{2y }0dx=0$

例6

已知，0≤2y＜1，试求 $\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx$

解

$\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx$ $=\int_{-\infty }^{0}f_{x}(x)dx+\int_{0 }^{2y}f_{x}(x)dx$

$=\int_{-\infty }^{0}0dx+\int_{0 }^{2y}1dx$

$=0+x|_{x=0}^{x=2y}$

$=0+(2y-0)$

$=2y$

例7

已知，2y≥1，试求 $\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx$

解

$\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx$ $=\int_{-\infty }^{0}f_{x}(x)dx+\int_{0}^{1}f_{x}(x)dx+\int_{1 }^{2y}f_{x}(x)dx$

                         $=\int_{-\infty }^{0}0dx+\int_{0}^{1}1dx+\int_{1 }^{2y}0dx$

                         $=0+x|_{x=0}^{x=1}+0$

                         $=0+(1-0)+0$

$=1$

求分段函数在 $-\infty$ 到未知数的定积分

方法：

①画出f式子不同式子的范围
②设积分上限∈第一个范围，求积分

设积分上限∈第二个范围，求积分

设积分上限∈第三个范围，求积分

......

③将各种情况结果汇总在一个大括号里

例8

已知，试求 $\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx$

解
设2y<0，得0 根据例5

设0≤2y<1，得2y 根据例6

设2y≥1，得1 根据例7

求简单的二重积分

方法：

①找出区域边缘的转折点
②过转折点作竖线，将区域切割成区域1、区域2

积分=区域1的积分+区域2的积分+...

③利用下面公式求出每个积分

例9

求 $\int \int 1dxdy$

解

积分=区域1+区域2

区域1积分 $=\int_{0.5}^{1}(\int_{0.5}^{x}1dy)dx$

                 $=\int_{0.5}^{1}(y|_{y=0.5}^{y=x})dx$

                 $=\int_{0.5}^{1}(x-0.5)dx$

                 $=(\frac{1}{2}x^{2}-0.5x)|_{x=0.5}^{x=1}$

                 $=(\frac{1}{2}\times 1^{2}-0.5\times 1)-(\frac{1}{2}\times 0.5^{2}-0.5\times 0.5)$

   $=\frac{1}{8}$

区域2积分 $=\int_{1}^{1.5}(\int_{0.5}^{2-x}1dy)dx$

                 $=\int_{1}^{1.5}(y|_{y=0.5}^{y=2-x})dx$

                 $=\int_{1}^{1.5}(2-x-0.5)dx$

                 $=\int_{1}^{1.5}(1.5-x)dx$

                 $=(1.5x-\frac{1}{2}x^{2})|_{x=1}^{x=1.5}$

                 $=(1.5\times1.5- \frac{1}{2}\times 1.5^{2})-(1.5\times 1-\frac{1}{2}\times 1^{2})$

   $=\frac{1}{8}$

积分 $=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$

例10

求 $\int \int xydxdy$

本题求三角形包裹区域

解

区域1积分 $=\int_{0}^{1}(\int_{0}^{x}xydy)dx$

                 $\because\frac{\partial (\frac{1}{2}xy^{2})}{\partial y}=xy \therefore \int xydy=\frac{1}{2}xy^{2}$

                 $=\int_{0}^{1}[\frac{1}{2}xy^{2}|_{y=0}^{y=x}]dx$

                 $=\int_{0}^{1}(\frac{1}{2}xx^{2}-\frac{1}{2}x0^{2})dx$

                 $=\int_{0}^{1}x^{3}dx$

                 $=(\frac{1}{8}x^{4})|_{x=0}^{x=1}$

                 $=\frac{1}{8}\times1^{4}-\frac{1}{8}\times0^{4}$

                 $=\frac{1}{8}$

区域2积分 $=\int_{1}^{2}(\int_{0}^{2-x}xydy)dx$

$=\int_{1}^{2}[(\frac{1}{2}xy^{2})|_{y=0}^{y=x-2}]dx$

                 $=\int_{1}^{2}[\frac{1}{2}x(2-x)^{2}-\frac{1}{2}x0^{2}]dx$

                 $=\int_{1}^{2}(\frac{1}{2}x^{3}-2x^{2}+2x)dx$

   $=(\frac{1}{8}x^{4}-\frac{2}{3}^{3}+x^{2})|_{x=1}^{x=2}$

                 $=\frac{2}{3}-\frac{11}{24}$

                 $=\frac{5}{24}$

积分 $=\frac{1}{8}+\frac{5}{24}=\frac{1}{3}$

例11

求 $\int \int kxydxdy$

本题求被包裹的右边区域

解

$\because\frac{\partial (\frac{kxy^{2}}{2})}{\partial y}=kxy \therefore \int xydy=\frac{kxy^{2}}{2}$

$\int \int kxydxdy$

$=\int_{0}^{1}[\frac{kxy^{2}}{2}|_{y=x^{2}}^{y=1}]dx$

$=\int_{0}^{1}[\frac{kx1^{2}}{2}-\frac{kx(x^{2})^{2}}{2}]dx$

$=\int_{0}^{1}(\frac{k}{2}x-\frac{k}{2}x^{5})dx$

$=(\frac{k}{4}\times1^{2}-\frac{k}{12}\times1^{6})-(\frac{k}{4}\times0^{2}-\frac{k}{12}\times1^{6})$

$=\frac{k}{6}$

求f(x,y)的二重积分

方法：

①找出1.f(x,y)的非零式子的范围 1和2的重合区域

2.待求积分的区域
②用重合区域替代积分区域，用f(x,y)的非零式子替换积分里的f(x,y)

例12

设区域G如下图所示，(X,Y)的概率密度为

，求 $\int \int f(x,y)dxdy$ ,满足y>0.5的区域

解

非零区域为(x,y)∈G

求的区域为y>0.5区域

替换f(x,y)为1

变为 $\int \int 1dxdy$ $=\frac{1}{4}$ 例9

例13

设区域G如下图所示，(X,Y)的概率密度为

求 $\int \int xyf(x,y)dxdy$ ,其中 $-\infty <x<+\infty ,-\infty <y<+\infty$ ，求以下区域

解

非零区域为(x,y)∈G
替换f(x,y)为1
$\int \int xy1dxdy=\frac{1}{3}$ 例10