Matlab：非线性规划

1、语法：

x=fmincon(fun,x0,A,b)
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
x=fmincon(problem)
[x,fval]=fmincon(___)
[x,fval,exitflag,output] = fmincon(___)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(___)

注：b 和 beq 是向量，A 和 Aeq 是矩阵，c(x) 和 ceq(x) 是返回向量的函数，f(x) 是返回标量的函数。f(x)、c(x) 和 ceq(x) 可以是非线性函数

2、在边界约束下求 Rosenbrock 函数在圆内最小的点

例： $f(x)=120(x_{2}-x_{1}^{2})^{2}+(1-x_{1})^{2}$

满足 $0\leqslant x_{1}\leqslant 0.6$ $0.2\leqslant x_{2}\leqslant 0.8$

且在1/3为半径，[1/3，1/3]为圆心的圆内

%路径上名为circlecon.m的文件
function[c,ceq]=circlecon(x)
c=(x(1)-1/3)^2+(x(2)-1/3)^2-(1/3)^2;
ceq=[];

fun=@(x)120*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
lb=[0,0.2];
ub=[0.6,0.8];
A=[];
b=[];
Aeq=[];
beq=[];       %无线性约束
x0=[1/5,1/4];  %找一个满足条件的初始点即可
nonlcon=@circlecon;
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

3、查看输出信息，使用不同算法

%路径上名为unitdisk.m的文件
function[c,ceq]=unitdisk(x)
c=x(1)^2+x(2)^2-1;
ceq=[];

options=optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp');
fun=@(x)120*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;
A=[];
b=[];
Aeq=[];
beq=[];
lb=[];
ub=[];
nonlcon=@unitdisk;
x0=[0,0];
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

4、梯度计算（算法优化）

例：

$f(x)=100(x_{2}-x_{1}^{2})^{2}+(1-x_{1})^{2}$ ，它的梯度

$\triangledown f(x)=\frac{-400\left ( x_{2}-x_{1}^{2} \right )x_{1}-2(1-x_{1}))}{200(x_{2}-x_{1}^{2})}$

满足 $-3\leqslant x_{1}\leqslant 3$ $-3\leqslant x_{2}\leqslant 3$

%路径上名为 rosenbrockwithgrad.m 的文件
function[f,g] = rosenbrockwithgrad(x)
f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;

if nargout > 1
    g=[-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1));
        200*(x(2)-x(1)^2)];
end

options=optimoptions('fmincon','SpecifyObjectiveGradient',true);
fun=@rosenbrockwithgrad;
x0=[-1,1];
A=[];
b=[];
Aeq=[];
beq=[];
lb=[-3,-3];
ub=[3,3];
nonlcon=[];
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

5、获取所有输出

例：

问题同上，调用unitdisk.m

fun=@(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
nonlcon = @unitdisk;
A=[];
b=[];
Aeq=[];
beq=[];
lb=[];
ub=[];
x0=[0,0];
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)