目录
🌈前言
📁 枚举的概念
📁递归的概念
例题：
1. 递归实现指数型枚举
2. 递归实现排列型枚举
3. 递归实现组合型枚举
📁 递推的概念
例题：
斐波那契数列
📁习题
1. 带分数
2. 反硬币
3. 费解的开关
📁 总结
🌈前言：
这篇文章主要是准备蓝桥杯竞赛同学所写，为你更好准备蓝桥杯比赛涉及的算法知识点。不知道你是否苦恼于不知算法从何学起，苦恼于网上资料稀少，或者复杂难懂，这篇文章就是帮助这部分同学的。
这篇文章会将C平滑过度到C++，如果你只学过C语言的基本语法，也没必要担心不合适，涉及到的C++知识点会进行详细讲解。
📁 枚举的概念：
很多问题都可以" 暴力解决 " —— 不用太多脑筋，把所有可能性全部列举出来，然后一一市实验。尽管这样的方法显得很“笨”，但常常是行之有效的。
——《 算法竞赛入门经典(第2版) 》
简单的理解就是，列举出所有可能性，逐个实验，合适就留下，不合适就丢弃，看下一个，直到列举完全部数据。
这里为什么讲解枚举呢，因为在递归和递推的很多题中，常常结合枚举法，所以我们先讲解其概念，方便接下里更好的讲解递归和递推。
在算法竞赛中，对于大多数人来说，其实并不需要关注算法的优化和鲁棒性（健壮性），只需要AC（通过）即可，所以，在实际比赛中，往往通过暴力枚举的方法就可以获得大部分的分数，所以打好递归和枚举的基础，非常重要。
📁递归的概念：
递归的思想就是，将一个大问题化解成一个个子问题，直到化解成我们简单理解计算的数。放在C/C++语言中就是，1. 函数自己调用自己；2. 必须有函数调用结束条件；3. 每次调用越来越接近这个条件。
这个概念相信大家在C语言学习阶段都有学习过，所以我们简单提一下，我们通过例题来更好的理解。当然，如果你感觉一开始很难理解，这很正常，多看几遍思路，照着敲一遍，自己在写一遍（注意这里就不能照着超了，即便错了，也要自己调试，超过15分钟后依旧没思路再来看）。如果感觉头痛，休息一下，再回来敲代码，坚持不放弃就是胜利。
📁 例题：
我们先给出原题，如果你有思路，可以自己先写一遍。其次，在展示 思路，最后展示代码。
1. 递归实现指数型枚举
92. 递归实现指数型枚举 - AcWing题库
解题思路：
我们先创建一个数组，有N+1 个元素，我们使用下标1 ~ N 表示每个数，如果这个数被选择，放如数字1；如果没有被选择，就放入2。最后打印1~N被选择的数。
//引入C语言标准头文件stdio.h ,包含printf 和 scanf函数
//引入C语言标准头文件string.h ,包含字符串 和 内存 函数
#include <cstdio>
#include <cstring>
//包含函数cin , cout 类似于 scanf 和 printf
#include <iostream>
//C++STL算法，部分算法的使用
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 15; //数组开辟的多一点，方便操作。
int n;
int st[N]; //每个数的状态，0代表未知 1代表选取 2代表未选取
//u是下标
void dfs(int u)
{
if (u > n)
{
for (int i = 1;i <= n;i++)
{
if(st[i] == 1)
printf("%d ", i);
}
puts("");
return;
}
st[u] = 1; //未选取
dfs(u + 1);
st[u] = 0; //还原现场，删掉也可以，下面会重置
st[u] = 2; //选取
dfs(u + 1);
st[u] = 0; //还原现场
}
int main()
{
cin >> n;
dfs(1);
return 0;
}2. 递归实现排列型枚举
94. 递归实现排列型枚举 - AcWing题库
解题思路：
这里我们可以沿用上一个题解的思路，不过有了一点延伸。之前我们是对每个数进行枚举，选择或是不选择。
现在，我们对每个位置进行枚举，枚举出一个没有被选择的数，直到最后一个位置枚举结束，打印。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=10; //为了方便理解，下标从1开始
int n;
int stu[N]; //每个位置
bool used[N]; //每个数的状态，选择就是 true，没选择就是 false
//u就是下标，代表哪一个位置
void dfs(int u)
{
if (u > n)
{
for (int i = 1;i <= n;i++)
{
printf("%d ", stu[i]);
}
puts("");
}
for (int i = 1;i <= n;i++)
{
if (!used[i])
{
stu[u] = i;
used[i] = true;
//递归到下一位置
dfs(u + 1);
//恢复现场
used[i] = false;
}
}
}
int main()
{
cin >> n;
dfs(1);
return 0;
}3. 递归实现组合型枚举
解题思路：
什么组合呢，就是不管顺序，例如，{1,2,3} 和 {1，3, 2}若果是排列的话，就是不同的排列；如果是组合的话，就是同一个组合。
字典序是什么呢，例如 ab 和 ac 的ab字典序较小，比较的就是ASCII码值；abc 和 ab的字典序，ab在前面。
介绍了上面两个内容，已经有了做题的基础。其实这题也是非常好做的，就是排列型枚举的衍生，可以阅读样例，其实有一种规律就是，每一个位置的数据都比他前一个数据大，也就是我们从小到大依次枚举，得到的就是一个字典组较小的在前的组合。
1. 在每个位置枚举未出现的数字；
2. 每个位置的数据都比前一个位置的数据大
这里我们可以进行一个优化，例如，3个位置从1~3中进行组合，如第一个数是2 或者 3 就没必要枚举了，因为没有2 和 3 后面的数不能够填满剩余2 个位置。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 25;
int n;
int m;
int ways[N]; //每个位置的数据，存放到数组ways中
//u就是下标，start就是比前一个位置的数据大的那个数据
void dfs(int u,int start)
{
//这里进行了优化，例如样例中，4和5放在第一个位置就没必要往下枚举了
if (n - start < m - u)
{
return;
}
//枚举完了m个位置，进行打印
if(u > m)
{
for(int i =1;i<=m;i++)
{
printf("%d ",ways[i]);
}
puts("");
return ;
}
//在每个位置上进行枚举操作，枚举没有出现的数字，并保持有序
for(int i=start;i<=n;i++)
{
ways[u] = i;
dfs(u + 1 ,i + 1);
}
}
int main()
{
cin>>n>>m;
dfs(1,1); //下标从1开始；start = 1，即从1开始枚举
return 0;
}📁 递推的概念：
递归的理解就是，先求出小问题，再由小问题求出大问题。下面就用斐波那契数列作为讲解，第三项就是前两项求和。
📁例题：
斐波那契数列
#include <iostream>
using namespace std;
int n,fib[50];
int main(){
cin >> n;
feibo[0]=0;
feibo[1]=1;
for(int i=2;i<n;++i)
fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
for(int i=0;i<n;++i)
printf("%d ",fib[i]);
return 0;
}📁习题：
1. 带分数
1209. 带分数 - AcWing题库
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 20;
bool used[10];
int num;
int ans;
bool check(int a, int c)
{
long long b = num * (long long)c - a * c;
if (!a || !b || !c)
{
return false;
}
bool backup[N];
memcpy(backup, used, sizeof used);
while (b)
{
int i = b % 10;
b /= 10;
if (!i ||backup[i])
{
return false;
}
backup[i] = true;
}
for (int i = 1;i < 10;i++)
{
if (!backup[i])
{
return false;
}
}
return true;
}
void dfs_c(int u,int a, int c)
{
if (u > 9)
{
return;
}
if (check(a, c))
{
ans++;
}
for (int i = 1;i <= 9;i++)
{
if (!used[i])
{
used[i] = true;
dfs_c(u + 1, a, c * 10 + i);
used[i] = false;
}
}
}
void dfs_a(int u,int a)
{
if (a >= num)
{
return;
}
if (a)
{
dfs_c(u, a, 0);
}
for (int i = 1;i <= 9;i++)
{
if (!used[i])
{
used[i] = true;
dfs_a(u + 1, a * 10 + i);
used[i] = false;
}
}
}
int main()
{
cin >> num;
dfs_a(0,0);
cout << ans;
return 0;
}2. 翻硬币
1208. 翻硬币 - AcWing题库
3. 费解的开关
95. 费解的开关 - AcWing题库
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
char g[6][6], back[6][6];
int T;
int dx[5] = { -1,0,1,0,0 }, dy[5] = { 0,1,0,-1,0 };
void turn(int x,int y)
{
for (int i = 0;i < 5;i++)
{
int a = x + dx[i];
int b = y + dy[i];
if (a < 0 || a >= 5 || b < 0 || b >= 5)
{
continue;
}
g[a][b] ^= 1;
}
}
int main()
{
cin >> T;
while (T--)
{
//对每一行进行输入
for (int i = 0;i < 5;i++)
{
cin >> g[i];
}
int ret = 10;
//枚举第一行的操作
for (int op = 0;op < 32;op++)
{
int step = 0;
memcpy(back, g, sizeof g);
//对第一行进行操作
for (int i = 0;i < 5;i++)
{
if (op >> i & 1)
{
step++;
turn(0, i);
}
}
//对第2 - 4 行进行操作
for (int i = 0;i < 4;i++)
for (int j = 0;j < 5;j++)
{
if (g[i][j] == '0')
{
step++;
turn(i + 1, j);
}
}
//对最后一行进行检查
bool dark = false;
for (int i = 0;i < 5;i++)
{
if (g[4][i] == '0')
{
dark = true;
break;
}
}
if (!dark)
ret = min(step, ret);
memcpy(g, back, sizeof g);
}
if (ret > 6)
ret = -1;
cout << ret << endl;
}
return 0;
}
📁 总结：
以上，我们就对递归、递推和枚举在蓝桥杯中的知识点进行了讲解，并针对性的讲解了例题，当然这也只是帮你更好的理解这些算法知识，想要学好算法，还需要不断地刷题练习，这里推荐到洛谷，acwing等网站进行练习，比如你看完了这篇文章，做回了例题习题，就可以上这些网站进行想应的练习。
![[C/C++]数据结构 希尔排序](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/78cd6c968f3e4f21af9b09874b8bb830.png)
