[排序算法]堆排序

参考：《漫画算法-小灰的算法之旅》

一、堆排序过程

二、堆排序的代码实现

三、时间复杂度和空间复杂度

四、从宏观上看，堆排序和快速排序相比，有什么区别和联系呢

回顾二叉堆：

1.最大堆的堆顶是整个堆中的最大元素。 2.最小堆的堆顶是整个堆中的最小元素。

以最大堆为例，如果删除一个最大堆的堆顶（并不是完全删除，而是跟末尾的节点交换位置），经过自我调整，第2大的元素就会被交换上来，成为最大堆的新堆顶。

例如上图，在删除值为10的堆顶节点后，经过调整，值为9的新节点就会顶替上来；在删除值为9 的堆顶节点后，经过调整，值为8的新节点就会顶替上来…… 由于二叉堆的这个特性，每一次删除旧堆顶，调整后的新堆顶都是大小仅次于旧堆顶的节点。那么只要反复删除堆顶，反复调整二叉堆，所得到的集合就会成为一个有序集合。该过程就是堆排序。

一、堆排序过程

删除节点10，节点9会成为新的栈顶：

删除节点9，节点8成为新堆顶。

删除节点8，节点7成为新堆顶。

删除节点7，节点6成为新堆顶。

删除节点6，节点5成为新堆顶。

删除节点5，节点4成为新堆顶。

删除节点4，节点3成为新堆顶。

删除节点3，节点2成为新堆顶。

到此为止，原本的最大二叉堆已经变成了一个从小到大的有序集合。之前说过，二叉堆实际存储在数组中，数组中的元素排列如下。

由此，可以归纳出堆排序算法的步骤：

1、把无序数组构建成二叉堆。需要从小到大排序，则构建成最大堆；需要从大到小排序，则构建成最小堆。

2.循环删除堆顶元素，替换到二叉堆的末尾，调整堆产生新的堆顶。

二、堆排序的代码实现

using namespace std;
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
//下沉调整
//parentIndex  要下沉的父节点
void downAdjust(vector<int>& array, int parentIndex, int length) {
	//temp保存父节点值，用于最后赋值
	int temp = array[parentIndex];
	int childIndex = 2 * parentIndex + 1;
	while (childIndex < length) {
		//如果有右孩子，且右孩子大于左孩子的值，则定位到右孩子
		if (childIndex + 1 < length && array[childIndex + 1] > array[childIndex]) {
			childIndex++;
		}
		//如果父节点大于两个孩子节点的值，则直接跳出
		if (temp >= array[childIndex]) {
			break;
		}
		//无须真正交换，单向赋值即可
		array[parentIndex] = array[childIndex];
		parentIndex = childIndex;
		childIndex = 2 * parentIndex + 1;
	}
	array[parentIndex] = temp;
}
//堆排序（升序）
void heapSort(vector<int>& array) {
	//1、把无序数组构建成最大堆
	for (int i = (array.size() - 2) / 2; i >= 0; i--) {
		downAdjust(array, i, array.size());
	}
	//2、循环删除堆顶元素，移到集合尾部，调整堆产生新的堆顶
	for (int i = array.size() - 1; i > 0; i--) {
		//最后一个元素和第一个元素进行交换
		int temp = array[i];
		array[i] = array[0];
		array[0] = temp;
		//下沉调整最大堆
		downAdjust(array, 0, i);
	}
}

int main()
{
	vector<int> arr = { 1, 3, 2, 6, 5, 7, 8, 9, 10, 0 };
	heapSort(arr);
	for (int i = 0; i < arr.size(); i++) {
		cout << arr[i] << endl;
	}
	system("pause");
	return 0;
}

三、时间复杂度和空间复杂度

空间复杂度是O（1），因为并没有开辟额外的集合空间。

二叉堆的节点“下沉”调整（downAdjust 方法）是堆排序算法的基础，这个调节操作本身的时间复杂度是O（log n）。我们再来回顾一下堆排序算法的步骤。 1.把无序数组构建成二叉堆。 2.循环删除堆顶元素，并将该元素移到集合尾部，调整堆产生新的堆顶。第1步，把无序数组构建成二叉堆，这一步的时间复杂度是O（n）。第2步，需要进行n-1次循环。每次循环调用一次 downAdjust方法，所以第2步的计算规模是（n-1） ×logn，时间复杂度为O（nlogn）。两个步骤是并列关系，所以整体的时间复杂度是 O（nlogn）。