2018年第七届数学建模国际赛小美赛
B题 世界杯足球赛的赛制安排
原题再现：
有32支球队参加国际足联世界杯决赛阶段的比赛。但从2026年开始，球队的数量将增加到48支。由于时间有限，一支球队不能打太多比赛。因此，国际足联提议改变比赛形式。每组将从4支球队改为3支球队，前两支球队有资格进入第二轮。为了保持比赛的激情，我们不希望有太多的比赛结果不影响球队的出线。为了比赛的公平性，我们不希望有太多的游戏认为串通对双方都有利。我们也希望比赛的最终结果不要过于包含运气因素。请分析这个问题，并给出最佳的竞争安排体系。最终结果需要包括以下问题的答案：
1.每组球队的数量以及谁可以进入第二轮。
2.预先安排比赛顺序的方法。
3.决赛结果对国际足联可口可乐排名的影响。
整体求解过程概述(摘要)
随着世界杯足球赛参赛队伍的不断扩大，比赛安排制度受到了广泛关注。因此，研究竞赛安排制度的公平性和实用性具有重要意义。本文以博弈过程为基础，重点分析了均衡、比赛顺序和结果对FIFA可口可乐排名的影响。
关于第一个问题，我们参考现有的系统，假设两种安排，即分组阶段和淘汰阶段。一个方案是将3个小组分成一个小组。每组前两名进入第二轮。另一组则有四个小组。每组前两名和第三名前八名进入下一轮。通过建立均衡指数，讨论了每种安排的个数，并进行了均衡分析。我们模拟了1000次博弈，讨论了总均衡的均衡度以及最后16、8、4三个阶段的均衡度。结果表明，上述第一竞争系统具有较少的匹配和较高的均衡度。
根据问题2，我们采用第一种竞赛制度。对小组赛的计分制进行了详细的阐述，得出了小组赛的胜负必须确定的结论。在这个例子中，我们分析了小组赛和淘汰赛。结果表明，为了避免各参赛队之间的勾结，保证比赛的公平性，有必要在小组赛阶段安排强队参加前两轮比赛。同时在基因敲除阶段采用交叉分布的方法。
对于问题三，根据排名和团队排名的变化建立了影响因素，称为上升因素和下降因素。同时基于match system one，通过单局模拟，证明了博弈结果在排名上的变化可以用上升因子和下降因子来表示。我们又进行了1000次模拟，结果表明，不同的比赛结果对排名有不同的影响。通过分析影响排名上升和下降的因素，得出比赛成绩对排名的影响。
模型假设：
比赛中各队获胜率确定，不受其他因素干扰；
竞争过程不受外界因素干扰；
每场比赛均由竞赛规则决定，不得弃权。
问题重述：
我们如何确定每个小组的队伍数量以及进入第二轮的队伍？
当我们设计一个计划时，我们必须考虑几个因素：比赛总数、公平性和得分系统。根据球队总数的增加，我们不能用过去的方法来安排整个比赛。我们参考现有的系统，假设了两种安排，即分组阶段和淘汰阶段。一个方案是将3个小组分成一个小组。每组前两名进入第二轮。另一组则有四个小组。每组前两名和第三名前八名进入下一轮。通过建立均衡指数，讨论了每种安排的个数，并进行了均衡分析。
如何确定下一场比赛的最佳顺序？
1） 从组匹配的角度来看：
对于避免合谋问题，我们的解决方案是允许较高级别的团队在群体博弈阶段与其他两个团队竞争。
2） 从淘汰赛阶段来看：
为了减少运气因素的影响，我们保证了在第二轮比赛中与任何球队竞争的可能性。从每个级别中选择一个团队组成一个团队的随机性是显著的。
在淘汰赛阶段，采用交叉分布的方法确定一队将面对的对手。
影响因素的量化分析
在不考虑比赛偶然性的情况下，根据排名和球队排名的变化建立了影响因素，即上升因素和下降因素。我们对比赛前后球队的排名进行了定性分析，并用权重来表示球队排名变化的程度。结果表明，所建立的模型能够分析决赛结果对FIFA可口可乐排名的影响。
模型的建立与求解整体论文缩略图
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部分程序代码：(代码和文档not free)
function effect
global cocacola
global a
global G
global effall
eff=zeros(48,2);
for i=1:48
b=cocacola(i,2)
c=find(a(:,2)==b)
if 1<=i&&i<=16
if 1<=c&&c<=16
d=(i-c)*1;
if d>0
eff(i,1)=eff(i,1)+d;
else
eff(i,2)=eff(i,2)+d;
end
else if 17<=c&&c<=32
d=(i-16)*1+(16-c)*4;
eff(i,2)=eff(i,2)+d;
else if 33<=c&&c<=48
d=(i-16)*1-16*4+(32-c)*8;
eff(i,2)=eff(i,2)+d;
end
end
end
end
if 17<=i&&i<=32
if 1<=c&&c<=16
d=(i-17)*1+(17-c)*4;
eff(i,1)=eff(i,1)+d;
else if 17<=c&&c<=32
d=(i-c)*1;
if d>0
eff(i,1)=eff(i,1)+d;
else
eff(i,2)=eff(i,2)+d;
end
else if 33<=c&&c<=48
d=(32-i)*1+(c-32)*4;
eff(i,2)=eff(i,2)+d;
end
end
end
end
if 33<=i&&i<=48
if 1<=c&&c<=16
d=(i-33)*1+16*4+(17-c)*8;
eff(i,1)=eff(i,1)+d;
else if 17<=c&&c<=32
d=(i-33)*1+(33-c)*4;
eff(i,1)=eff(i,1)+d;
else if 33<=c&&c<=48
d=(i-c)*1;
if d>0
eff(i,1)=eff(i,1)+d;
else
eff(i,2)=eff(i,2)+d;
end
end
end
end
end
end
effall(G,:)=sum(eff);
function Groupcompetition
global team
global xiaozu
global taotai16
for i=1:16
a(1:3,:)=xiaozu(3*i-2:3*i,:);
b=rand*(a(1,4)+a(2,4));
if b<=a(1,4)
a(1,5)=a(1,2); %第一次 获胜队伍
a(1,6)=a(2,2); %第一次 失败队伍
a(1,7)=a(1,7)+1; %1队加分
c=round(1+2*rand); %进球
d=round(c*rand-1); %丢球
a(1,8)=c+a(1,8); %1队进球
a(1,9)=d+a(1,9); %1队丢球
a(2,8)=d+a(2,8); %2队进球
a(2,9)=c+a(2,9); %2队丢球
else
a(1,6)=a(1,2);
a(1,5)=a(2,2);
a(2,7)=a(2,7)+1;
c=round(1+2*rand); %进球
d=round((c-1)*rand-1); %丢球
a(2,8)=c+a(2,8); %2队进球
a(2,9)=d+a(2,9); %2队丢球
a(1,8)=d+a(1,8); %1队进球
a(1,9)=c+a(1,9); %1队丢球
end
b=rand*(a(1,4)+a(3,4));
if b<=a(1,4)
a(2,5)=a(1,2);
a(2,6)=a(3,2);
a(1,7)=a(1,7)+1;
c=round(1+2*rand); %进球
d=round((c-1)*rand); %丢球
a(1,8)=c+a(1,8); %1队进球
a(1,9)=d+a(1,9); %1队丢球
a(3,8)=d+a(3,8); %3队进球
a(3,9)=c+a(3,9); %3队丢球
else
a(2,6)=a(1,2);
a(2,5)=a(3,2);
a(3,7)=a(3,7)+1;
c=round(1+2*rand); %进球
d=round((c-1)*rand-1); %丢球
a(3,8)=c+a(3,8); %3队进球
a(3,9)=d+a(3,9); %3队丢球
a(1,8)=d+a(1,8); %1队进球
a(1,9)=c+a(1,9); %1队丢球
end
b=rand*(a(2,4)+a(3,4));
if b<=a(2,4)
a(3,5)=a(2,2);
a(3,6)=a(3,2);
a(2,7)=a(2,7)+1;
c=round(1+2*rand); %进球
d=round((c-1)*rand-1); %丢球
a(2,8)=c+a(2,8); %2队进球
a(2,9)=d+a(2,9); %2队丢球
a(3,8)=d+a(3,8); %3队进球
a(3,9)=c+a(3,9); %3队丢球
else
a(3,6)=a(1,2);
a(3,5)=a(2,2);
a(3,7)=a(3,7)+1;
c=round(1+2*rand); %进球
d=round((c-1)*rand-1); %丢球
a(3,8)=c+a(3,8); %2队进球
a(3,9)=d+a(3,9); %2队丢球
a(2,8)=d+a(2,8); %3队进球
a(2,9)=c+a(2,9); %3队丢球
end
a(:,10)=a(:,8)-a(:,9); %净胜球
for j=1:3
m=a(j,5);
n=find(team(:,1)==m);
team(n,5)=team(n,5)+1;
end
xiaozu(3*i-2:3*i,:)=a;
for j=1:3
if a(j,7)==2
taotai16(2*i-1,:)=a(j,:);
for k=1:3
if a(k,7)==1
taotai16(2*i,:)=a(k,:);
end
end
end
end
for m=1:2
for k=m+1:3
if a(m,10)<a(k,10)
e=a(m,:);
a(m,:)=a(k,:);
a(k,:)=e;
end
end
end
taotai16(2*i-1,:)=a(1,:);
taotai16(2*i,:)=a(2,:);
end
taotai16;
xiaozu;
team;
xuni=taotai16;
for i=1:32
for j=i:32
if xuni(i,4)<xuni(j,4)
a=xuni(i,:);
xuni(i,:)=xuni(j,:);
xuni(j,:)=a;
end
end
end
for i=1:32
if (1<=i)&&(i<=8)
xuni(i,3)=1;
else if (9<=i)&&(i<=16)
xuni(i,3)=2;
else if (17<=i)&&(i<=24)
xuni(i,3)=3;
else if (25<=i)&&(i<=32)
xuni(i,3)=4;
end
end
end
end
end
for i=1:32
a=find(xuni(i,2)==taotai16(:,2));
taotai16(a,11)=xuni(i,3);
end
xuni;
taotai16;
team;
function Semifinal
global team
global taotai2
global taotai
a=rand*(taotai2(1,4)+taotai2(3,4));
if a<taotai2(1,4)
taotai(1,:)= taotai2(1,:);
taotai(3,:)=taotai2(3,:);
else
taotai(1,:)= taotai2(3,:);
taotai(3,:)=taotai2(1,:);
end
a=rand*(taotai2(2,4)+taotai2(4,4));
if a<taotai2(2,4)
taotai(2,:)= taotai2(2,:);
taotai(4,:)=taotai2(4,:);
else
taotai(2,:)= taotai2(4,:);
taotai(4,:)=taotai2(2,:);
end
for j=1:2
m=taotai(j,2);
n=find(team(:,1)==m);
team(n,9)=team(n,9)+1;
end
taotai2;
taotai;
team;
