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键盘敲烂，年薪百万！

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一、二分查找

题目链接：二分查找

题目描述

       给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target  ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。
示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

提示：

1. 你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
2. n 将在 [1, 10000]之间。
3. nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

解法

a.定义left，right指针，分别指向数组的左右区间。

b.找到待查找区间的中间点mid，找到之后分三种情况讨论:

       i. arr[mid] == target说明正好找到，返回mid的值;

       ii. arr[mid] > target说明[mid，right]这段区间都是大于target的，因此舍去右边区间，在左边[left， mid -1]的区间继续查找，即让right = mid -1，然后重复2过程;

       iii. arr[mid] < target说明[left，mid]这段区间的值都是小于target的，因此舍去左边区间，在右边[mid + 1，right]区间继续查找，即让left = mid +1，然后重复2过程;

c. 当left与right错开时，说明整个区间都没有这个数，返回-1

代码实现

int search(int* nums, int numsSize, int target) 
{
    int left = 0, right = numsSize - 1;
    while (left <= right)
    {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) 
            return mid;
        else if (nums[mid] > target)
             right = mid - 1;
        else 
            left = mid + 1;
    }
    return -1;
}

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二、在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

题目链接：在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

题目描述

       给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

       如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

       你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]

示例 2：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]

示例 3：

输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]

提示：

• 0 <= nums.length <= 105
• -109 <= nums[i] <= 109
• nums 是一个非递减数组
• -109 <= target <= 109

解法

算法思路:

       用的还是二分思想，就是根据数据的性质，在某种判断条件下将区间一分为二，然后舍去其中一个区间，然后再另一个区间内查找

       方便叙述，用×表示该元素resLeft表示左边界，resRight表示右边界。

寻找左边界思路:

 寻找左边界:

       我们注意到以左边界划分的两个区间的特点:

       ·左边区间[left, resLeft - 1]都是小于×的;

       ·右边区间(包括左边界)[resLeft，right]都是大于等于x的;因此，关于mid的落点，我们可以分为下面两种情况:

       当我们的mid落在[left，resLeft - 1]区间的时候，也就是arr[mid]<target。说明[left， mid]都是可以舍去的，此时更新left到mid + 1的位置,继续在[mid + 1, right]上寻找左边界;

       当mid落在[resLeft，right]的区间的时候，也就是arr[mid] >= targeto说明[mid + 1，right](因为mid可能是最终结果，不能舍去）是可以舍去的，此时更新right到mid的位置，继续在[left，mid]上寻找左边界;

       由此，就可以通过二分，来快速寻找左边界;

注意:

这里找中间元素需要向下取整。因为后续移动左右指针的时候:

       ·左指针:left = mid + 1，是会向后移动的，因此区间是会缩小的;

       ·右指针: right = mid ，可能会原地踏步（比如:如果向上取整的话，如果剩下1,2两个元素，left == 1，right == 2，mid == 2。更新区间之后，left，right，mid 的值没有改变，就会陷入死循环)。

       因此一定要注意，当right = mid的时候，要向下取整。

寻找右边界思路:

       寻右左边界:

       用resRight表示右边界;。我们注意到右边界的特点:

       左边区间 (包括右边界)[left，resRight]都是小于等于的;右边区间[resRight+ 1，right]都是大于)的;

       因此，关于mid的落点，我们可以分为下面两种情况:

       当我们的mid落在[left ， resRight了区间的时候，说明[left，mid - 1]( mid不可以舍去，因为有可能是最终结果）都是可以舍去的，此时更新left到mid的位置。

       当mid 落在[resRghet ti, right]的区间的时候，说明[mid，right]内的元素是可以舍去的，此时更新ight到mid - 1的位置;

       由此，就可以通过二分，来快速寻找右边界

注意:

       这里找中间元素需要向上取整。因为后续移动左右指针的时候:

       ·左指针: left = mid，可能会原地踏步(比如:如果向下取整的话，如果剩下1,2两个元
素，left == 1， right == 2, mid == 1。更新区间之后，left，right， mid的值没有改变，就会陷入死循环)。

       ·右指针: right = mid - 1，是会向前移动的，因此区间是会缩小的;因此一定要注意，当right = mid的时候，要向下取整。

二分查找算法总结:

       请大家一定不要觉得背下模板就能解决所有二分问题。二分问题最重要的就是要分析题意，然后确定要搜索的区间，根据分析问题来写出二分查找算法的代码。

       要分析题意，确定搜索区间，不要死记模板，不要看左闭右开什么乱七八糟的题解要分析意，确定搜索区间，不要死记模板，不要看左闭右开什么乱七八糟的题解要分析题意，确定搜索区间，不要死记模板，不要看左闭右开什么乱七八糟的题解重要的事情说三遍。

模板记忆技巧:

       1.关于什么时候用三段式，还是二段式中的某一个，一定不要强行去用，而是通过具体的问题分析情况，根据查找区间的变化确定指针的转移过程，从而选择一个模板。

       2.当选择两段式的模板时:在求mid的时候，只有right - 1的情况下，才会向上取整(也就是+i取中间数)

代码实现

class Solution 
{
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) 
    {
        if(nums.size() == 0) return {-1, -1};      
        int begin = 0;
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] < target) 
                left = mid + 1;
            else right = mid;
        }
        if(nums[left] != target) 
            return {-1, -1};
        else begin = left; 
        left = 0, right = nums.size() - 1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left + 1) / 2;
            if(nums[mid] <= target) left = mid;
            else right = mid - 1;
        }
        return {begin, right};
    }
};

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三、搜索插入位置

题目链接：搜索插入位置

题目描述

       给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

       请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

示例 1:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2

示例 2:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1

示例 3:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4

提示:

• 1 <= nums.length <= 104
• -104 <= nums[i] <= 104
• nums 为 无重复元素 的 升序 排列数组
• -104 <= target <= 104

解法

算法思路:

a.分析插入位置左右两侧区间上元素的特点:

       设插入位置的坐标为index，根据插入位置的特点可以知道:

       [left，index - 1]内的所有元素均是小于target的;[index，right]内的所有元素均是大于等于target的。

b.设left为本轮查询的左边界，right为本轮查询的右边界。

       根据mid位置元素的信息，分析下一轮查询的区间:

        ·当nums [mid] >= target时，说明mid落在了[index，right]区间上，mid左边包括mid本身，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在[left,mid]上。因此，更新right到mid位置,继续查找。

       ·当nums [mid] < target时，说明mid落在了[left，inde- 1]区间上，mid右边但不包括mid本身，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在[mid+ 1， right]上。因此，更新left到mid + 1的位置，继续查找。

c.直到我们的查找区间的长度变为1，也就是(left == right的时候，left或者right所在的位置就是我们要找的结果。

代码实现

class Solution 
{
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) 
    {
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] < target) 
                left = mid + 1;
            else right = mid;
        }
        if(nums[left] < target) 
            return right + 1;
        return right;
    }
};

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结语：今日的刷题分享到这里就结束了，希望本篇文章的分享会对大家的学习带来些许帮助，如果大家有什么问题，欢迎大家在评论区留言~~~