JAVA代码编写

123.买卖股票的最佳时机III

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

输入：prices = [7,6,4,3,1] 
输出：0 
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

输入：prices = [1]
输出：0

方法一：动态规划

思路：

关键在于至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。

接来下我用动态规划五部曲详细分析一下：

1.确定dp数组以及下标的含义

一天一共就有五个状态，

dp[i] [j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i] [j]表示第i天状态j所剩最大现金。

需要注意：dp[i] [1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。

例如 dp[i] [1] ，并不是说 第i天一定买入股票，有可能 第 i-1天 就买入了，那么 dp[i] [1] 延续买入股票的这个状态。

2.确定递推公式

达到dp[i] [1]状态，有两个具体操作：

• 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i] [1] = dp[i-1] [0] - prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i] [1] = dp[i - 1] [1]

那么dp[i] [1]究竟选 dp[i-1] [0] - prices[i]，还是dp[i - 1] [1]呢？

一定是选最大的，所以 dp[i] [1] = max(dp[i-1] [0] - prices[i], dp[i - 1] [1]);

同理dp[i] [2]也有两个操作：

• 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i] [2] = dp[i - 1] [1] + prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i] [2] = dp[i - 1] [2]

所以dp[i] [2] = max(dp[i - 1] [1] + prices[i], dp[i - 1] [2])

同理可推出剩下状态部分：

dp[i] [3] = max(dp[i - 1] [3], dp[i - 1] [2] - prices[i]);

dp[i] [4] = max(dp[i - 1] [4], dp[i - 1] [3] + prices[i]);

3.dp数组如何初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0] [0] = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0] [1] = -prices[0];

第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？

此时还没有买入，怎么就卖出呢？ 其实大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0] [2] = 0;

第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？

第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。

所以第二次买入操作，初始化为：dp[0] [3] = -prices[0];

同理第二次卖出初始化dp[0] [4] = 0;

4.确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

5.举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]为例

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int len = prices.length;
        // 边界判断, 题目中 length >= 1, 所以可省去
        if (prices.length == 0) return 0;

        /*
         * 定义 5 种状态:
         * 0: 没有操作, 1: 第一次买入, 2: 第一次卖出, 3: 第二次买入, 4: 第二次卖出
         */
        int[][] dp = new int[len][5];
        dp[0][1] = -prices[0];
        // 初始化第二次买入的状态是确保 最后结果是最多两次买卖的最大利润
        dp[0][3] = -prices[0];

        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
            dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
        }

        return dp[len - 1] [4];
    }
}

188.买卖股票的最佳时机IV

输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
     随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

方法一：动态规划

**思路：**在123.买卖股票的最佳时机III的基础上，增加了进行k笔交易的限制

1.定义数组

一天一共就有五个状态，

dp[i] [j]中 i表示第i天，j为 [0 - 2k] (2k+1)个状态，dp[i] [j]表示第i天状态j所剩最大现金。

需要注意：dp[i] [1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。

例如 dp[i] [1] ，并不是说 第i天一定买入股票，有可能 第 i-1天 就买入了，那么 dp[i] [1] 延续买入股票的这个状态。

2.确定递推公式

达到dp[i] [1]状态，有两个具体操作：

• 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i] [1] = dp[i-1] [0] - prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i] [1] = dp[i - 1] [1]

那么dp[i] [1]究竟选 dp[i-1] [0] - prices[i]，还是dp[i - 1] [1]呢？

一定是选最大的，所以 dp[i] [1] = max(dp[i-1] [0] - prices[i], dp[i - 1] [1]);

同理dp[i] [2]也有两个操作：

• 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i] [2] = dp[i - 1] [1] + prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i] [2] = dp[i - 1] [2]

所以dp[i] [2] = max(dp[i - 1] [1] + prices[i], dp[i - 1] [2])

同理可推出剩下状态部分：

for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
    dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
    dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}

3.dp数组如何初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0] [0] = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0] [1] = -prices[0];

所以同理可以推出dp[0] [j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]

代码如下：

for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
    dp[0][j] = -prices[0];
}

在初始化的地方同样要类比j为偶数是卖、奇数是买的状态。

4.确定遍历顺序:从前向后遍历

5.举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]，k=2为例。

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n^2)$
• 空间复杂度：O(n)

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if (prices.length == 0) return 0;

        // [天数][股票状态]
        // 股票状态: 奇数表示第 k 次交易持有/买入, 偶数表示第 k 次交易不持有/卖出, 0 表示没有操作
        int len = prices.length;
        int[][] dp = new int[len][k*2 + 1];
        
        // dp数组的初始化, 与版本一同理
        for (int i = 1; i < k*2; i += 2) {
            dp[0][i] = -prices[0];
        }

        for (int i = 1; i < len; i++) {
            for (int j = 0; j < k*2 - 1; j += 2) {
                dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
                dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
            }
        }
        return dp[len - 1][k*2];
    }
}