完全背包
例题：有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
区别：完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
公式推导：01背包问题是从二维数组压缩到一维数组，由于一维数组要保证每次取得物品不重合，遍历顺序也就变成了从后向前遍历。但是完全背包问题每种物品数量不限制数量，也就是说不需要防止重合情况，那问题就变成了一维数组或者说是滚动数组从前往后遍历。
首先再回顾一下01背包的核心代码
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历
// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}注意：这里j什么要从weight[i]开始，因为当j小于weight[i]时，也就是当前容量不足以装下当前第i个物品，所以每次在遍历开始都要从weight[i]开始。
dp数组初始化：dp[j]=0,也就是没放物品时，不管容量多大，价值都是0;
举例推导dp公式:
背包最大重量为4。
物品为：
| 重量 | 价值 | |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
每件商品都有无限个！
问背包能背的物品最大价值是多少？
我们来走一遍流程：
只可以选物品0时：随着容量变大，不断放进物品0就行，直到装满，结果就出来了 ；
可以选物品0和物品1时：首先容量0-2时，物品1放不进，所有直接将上一步结果放入，这一步其实也就是解释了为什么二维数组可以被压缩，也解释了为什么j要从weight[i]开始；
牢记dp[j]是代表j容量的背包填满，最大价值是多少。
当容量变成3（j=weight[i]）以后，dp[j]发生了什么，dp[j]有两个来源：
①不加入物品1，那就是和上一步结果一样，所以取dp[3]；
②加入物品1，首先容量得腾出位置来放物品1，所以3-weight[1]，也就是容量变成1了，当j=1时，dp[1]=15（最大价值是15），再加上物品1的价值value[1]=20,所以dp[3-weight[1]]+value[1]。进行最后一步，选出dp[3]和dp[3-weight[1]]+value[1]的最大值，就是当前容量填满放进去物品的最大价值。
最后，j=4或者物品2也在选择范围时，就可以用公式：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);完整代码： 注意这里先开始遍历物品再开始遍历背包容量，反过来也可以，区别于一维01背包。
void test_CompletePack() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
return dp[bagWeight];
}518. 零钱兑换 II - 力扣（LeetCode）
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。
假设每一种面额的硬币有无限个。
题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。
示例 1：
输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5] 输出：4 解释：有四种方式可以凑成总金额： 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1
示例 2：
输入：amount = 3, coins = [2] 输出：0 解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。
思路：完全背包问题，amount就是背包容量，coins就是可以选择的物品。
解决：动态规划五部步曲
1.确定dp[j]的含义；
dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]。注意这里dp[j]求得是组合数，不是硬币的总额。
2.确定递推公式；
和494.目标和类似，dp[j]+=dp[j-coins[i]]；
3.确定dp初始化；
还是和494.目标和类似，dp[0]=1；
代码随想录算法训练营第三十七天|1049. 最后一块石头的重量 II ，494. 目标和，474.一和零-CSDN博客
4.确定遍历顺序；
先遍历硬币，再遍历金额，里层遍历从前向后遍历，因为硬币可以重复用。
5.举例推导dp数组。
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：
代码：
class Solution {
public:
int change(int amount, vector<int>& coins) {
vector<int> dp(amount+1,0);
dp[0]=1;
for(int i=0;i<coins.size();i++){
for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
dp[j]+=dp[j-coins[i]];
}
}
return dp[amount];
}
};377. 组合总和 Ⅳ - 力扣（LeetCode）
给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。
题目数据保证答案符合 32 位整数范围。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3], target = 4 输出：7 解释： 所有可能的组合为： (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1) 请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。
思路：这里nums是可以重复的，可以转换成完全背包问题。
①物品：这里物品就是nums里面元素；
②背包：就是组合，但是这里要求的是组合数量，所以dp数组里不是放价值，是放组合的数量；
拿示例1来说，就是需要背包物品总价值为4（j=4），从nums中选物品（可以重复）放入背包，有7种组合dp[j]。
解决：动态规划五步曲
1.确定dp[j]含义；
dp[j]就表示目标数为j的组合有dp[j]种。
2.确定递推公式；
和上题一样，dp[j]=dp[j]+dp[j-nums[i]]。
3.确定dp初始化；
dp[j]初始都为0，dp[0]=1。
4.确定遍历顺序；
①由于可以重复选取元素，所以这是一个完全背包问题。
②其次组合顺序不同也算一种新组合，题目要的其实是排列。
循环方式就两种：外循环物品，内循环目标数；外循环目标数，内循环物品。
如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！
所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。同样举个例子，当j=3时，我可以先取1再取2，或者先取2再取1，因为当前循环target没变，是通过遍历nums数组去组合。
5.举例推导dp数组。
代码：
注意：C++测试用例有两个数相加超过int的数据，所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。
class Solution {
public:
int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
vector<int> dp(target+1,0);
dp[0]=1;
for(int j=0;j<=target;j++){//遍历容量
for(int i=0;i<nums.size();i++){//遍历物品
if(j-nums[i]>=0&&dp[j] < INT_MAX - dp[j - nums[i]]){
dp[j]=dp[j]+dp[j-nums[i]];
}
}
}
return dp[target];
}
};防止数组越界 要判断j-nums[i]>=0。
![[mac系统]利用换行符查找替换^p 报错 --caption_column‘ calue ‘test‘ needs to be one of: image](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/4b745197e9e4418e9056b75e16993072.png)
