26.对称矩阵及正定性

1. 实对称矩阵的特征值均为实数，并且一定存在一组两两正交的特征向量

   这对于单位矩阵显然成立

   证明特征值均为实数：

   ​    设一个对称矩阵$A$，对于$A\vec{x}=\lambda \vec{x}$，依第$21$讲的小技巧可知$A\overline{\vec{x}}=\overline{\lambda }\overline{\vec{x}}$

   ​    左右一起转置可得${\overline{\vec{x}}}^T{A}^T=\overline{\lambda }{\overline{\vec{x}}}^T$，利用对称性可得${\overline{\vec{x}}}^{T}A=\overline{\lambda }{\overline{\vec{x}}}^T$，左右一起左乘$\vec{x}$可得${\overline{\vec{x}}}^{T}A\vec{x}=\overline{\lambda }{\overline{\vec{x}}}^T\vec{x}$

   ​    而最初的等式左右一起右乘${\overline{\vec{x}}}^T$可得${\overline{\vec{x}}}^{T}A\vec{x}=\lambda {\overline{\vec{x}}}^T\vec{x}$

   ​    所以$\overline{\lambda }{\overline{\vec{x}}}^T\vec{x}=\lambda {\overline{\vec{x}}}^T\vec{x}$，因而若${\overline{\vec{x}}}^T\vec{x}\ne 0$，则$\lambda$为实数

   ​    下证${\overline{\vec{x}}}^T\vec{x}\ne 0$

   ​    对于任意复数$x=a+bi$，有$\overline{x}x=(a-bi)(a+bi)=a^2+b^2=|x{|}^2$

   ​    所以${\overline{\vec{x}}}^T\vec{x}=\left[\begin{array}{cccc}\overline{x_1}& \overline{x_2}& \cdots & \overline{x_n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=|x_1{|}^2+|x_2{|}^2+\cdots +|x_n{|}^2={\vec{x}}^2$

   ​    又特征向量不可能是$\vec{0}$，所以${\overline{\vec{x}}}^T\vec{x}>0$，因而$\lambda$为实数

   证明一定存在一组两两正交的特征向量：

   ​ $暂时不会证明$

   • 可以注意到证明中关键的条件是$A=\overline{A}$，但是对于复矩阵，如果$A={\overline{A}}^T$，那么${\overline{\vec{x}}}^{T}A=\overline{\lambda }{\overline{\vec{x}}}^T$仍成立，特征值仍一定为实数且一定存在一组两两正交的特征向量，这样的复矩阵称为共轭对称矩阵

2. 当挑选出的那些特征向量为一组标准正交基时，对称矩阵$A=S\Lambda S^{-1}=Q\Lambda Q^{-1}=Q\Lambda Q^T$

   这种分解展示了对称矩阵的对称性，即$(Q\Lambda Q^T{)}^T=(Q^T{)}^T{\Lambda }^T{Q}^T=Q\Lambda Q^T$，它在数学上称为谱定理，在力学上称为主轴定理

   进一步推导有

   $A=Q\Lambda Q^T=\left[\begin{array}{ccc}|& \cdots & |\\ {\vec{q}}_1& \cdots & {\vec{q}}_n\\ |& \cdots & |\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-& {\vec{q}}_1^T& -\\ \cdots & \cdots & \cdots \\ -& {\vec{q}}_n^T& -\end{array}\right]={\lambda }_1{\vec{q}}_1{\vec{q}}_1^T+{\lambda }_2{\vec{q}}_2{\vec{q}}_2^T+\cdots +{\lambda }_n{\vec{q}}_n{\vec{q}}_n^T$

   因为${\vec{q}}_1,{\vec{q}}_2,\cdots ,{\vec{q}}_n$为单位向量，所以${\vec{q}}_1^T{\vec{q}}_1=\cdots ={\vec{q}}_n^T{\vec{q}}_n=1$，所以${\vec{q}}_1{\vec{q}}_1^T=\frac{{\vec{q}}_1{\vec{q}}_1^T}{{\vec{q}}_1^T{\vec{q}}_1},\cdots ,{\vec{q}}_n{\vec{q}}_n^T=\frac{{\vec{q}}_n{\vec{q}}_n^T}{{\vec{q}}_n^T{\vec{q}}_n}$，这样就把${\vec{q}}_1{\vec{q}}_1^T,\cdots ,{\vec{q}}_n{\vec{q}}_n^T$看成了${\vec{q}}_1,{\vec{q}}_2,\cdots ,{\vec{q}}_n$的投影矩阵，因而对称矩阵可以视为一些向量的投影矩阵的组合，这是人们理解谱定理的另一种办法

3. 对称矩阵的主元中正负数个数分别与其特征值中正负数的个数一致

   证明：$暂时不会证明$

   由此可以得到一种新的计算特征值的办法，对于对称矩阵$A$，可以得到$A-nI$的主元中正负数分别有多少，从而分别知道$A$有多少个特征值大于、小于$n$，这样就可以把特征值逼到一定的精度内

4. 正定矩阵

   正定矩阵：一个实对称矩阵$M$，对于任意实非零向量$\vec{x}$均满足${\vec{x}}^{T}M\vec{x}>0$，那么$M$为正定矩阵

   • 正定矩阵的特征值和主元均为正实数

     证明： 见第$28$讲

     • 正定矩阵的行列式也为正实数

   • 正定矩阵的所有子行列式均为正实数

     其中子行列式表示以该正定矩阵的第一个元素为第一个元素的子方阵的行列式

     证明：$暂时不会证明$

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