对一个多维随机变量作为线性变换以后的协方差矩阵

article2025/2/11 12:00:04/文章来源:https://blog.csdn.net/panghuangang/article/details/134760781

假设 $X=(x_{1},x_{2},...,x_{n})^{T}$ 是一个n维的随机变量，它的协方差矩阵 $\Sigma_{X} =E\left [ (X-E(X))(X-E(X))^{T} \right ]$

对 $X$ 做线性变换 $Y=AX$ ，其中 $A$ 是一个矩阵（当然也可以是一个标量）， $Y$ 的协方差矩阵 $\Sigma _{Y}=A\Sigma _{X}A^{T}$

证明如下：

$\Sigma_{Y} =E\left [ (Y-E(Y)(Y-E(Y))^{T} \right ]$

将 $Y=AX$ 代入 $\Sigma _{Y}$ ，得

$\Sigma_{Y} =E\left [ (AX-E(AX))(AX-E(AX))^{T} \right ]$

$=E\left [ (AX-AE(X))(AX-AE(X))^{T} \right ]$

$=E\left [ A(X-E(X))(A(X-E(X)))^{T} \right ]$

$=E\left [ A(X-E(X))(X-E(X))^{T}A^{T} \right ]$

$=AE\left [ (X-E(X))(X-E(X))^{T} \right ]A^{T}$

$=A\Sigma _{X}A^{T}$

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