数学基础

KL散度

• 描绘一个分布p和另一个分布q之间的偏离程度
  
• 当$p(x)==q(x)$时散度取得最小值

JS散度

• 另一种衡量两个概率分布相似性的方法
  

GAN

• 需要训练两个网络；损失来回波动，不好分辨，不容易收敛；可能会学到一些不希望学到的东西，即不好掌控
  

鉴别器D

• 预测给定的真实样本的概率，并区分真假样本

生成器G

• 通过学习数据分布，生成假样本以欺骗判别器获得一个高的数据分布，两个模型相互竞争，进行博弈，并相互进行改进。

Autoencoder

• Encoder: 将原始高维输入数据转化为低维，输入大小大于输出大小
  • 编码器在处理过程中完成了数据的降维
• Decoder：从代码中恢复数据，可能居于越来越大的输出层。

VAE

• 其思想和其他自编码器模型不同，主要用到变分贝叶斯和图形模型
• VAE通过对Encoder对输入（我们这里以图片为输入）进行高效编码，然后由Decoder使用编码还原出图片，在理想情况下，还原输出的图片应该与原图片极相近。
  

Diffusion Model

• GAN因为使用对抗训练，训练不稳定，缺少多样性生成；VAE依赖于替代损失；流模型必须使用专门的体系结构来构造可逆转换
• 扩散模型受非平衡热力学启发，其定义了一个马尔可夫链，通过像数据中添加噪声，然后反向学习扩散过程，进而构造样本
  

Forward diffusion process

• 给定从真实数据中采样的数据点，并向样本中添加少量高斯噪声，产生一系列的有噪声的样本
  
• 随着t逐渐变大，数据样本逐渐失去可区分的特征，最终当T趋于无穷时，$X_T$等价于正态高斯分布
  
• 可以推出$x_t$的推导公式，而当样本逐渐变得嘈杂时，更新步幅也随之变大

• 其中$a_t=1-{\beta }_t$, $\beta$逐渐变大，从0.0001到0.002之间，进而$\alpha$也逐渐变小
• 可以看到$x_t$的公式中$x_t$与$x_{t-1}$有关，同时再加上一点高斯分布噪音
  
• 同理，$x_{t-1}$也可以用$x_{t-2}$表示出来，带入到$x_t$的表达式中，得到红线部分$z_1,z_2$两个高斯分布噪音的相加
• 式子中对高斯分布乘上一个数，相当于对分布的方差进行变化，如果加减操作，相当于对分布的均值发生变化，因此可以发现二者的方差已经变化
  
• 相乘之后的分布仍服从高斯分布，因此二者可以做加法，新的分布还是高斯分布，只不过是方差相加
  
• 因此可以看出，$x_t$的分布和他的前t项相关，是其前t项连乘，这样就能做到直接得到加噪过程中任意一项的图像分布。

Reverse Process

• 反向过程即通过$x_t$逐渐推出$x_0$的过程，通过使用贝叶斯公式可以完成这一过程，其中$q(x_t|x_{t-1})$为正向过程，已知，$q(x_{t-1|}|x_0)$也都已知
• 这里三个式子都是服从高斯分布，因此乘以一个数和加上一个数，分别改变其方差和均值，和前面的过程相同。
  
• 根据贝叶斯公式，需要将其中两项相乘，再除以第三项，因为这三项都服从正态分布，因此将他们做乘除即幂次相加减

• 通过对方程进行化简，可以配方得到关于$x_{t-1}$的式子，而关于正态分布的公式进行展开，可以得到和配方后的式子相同的式子
  
• 因此，可以分别得到$\sigma 和\mu$的值
  
• 其中，$x_0$不知道，但是通过前向过程可以将$x_0$逆推回来，并将其带入均值方程，可以得到均值的最终结果。此时，均值只与$x_t$有关
• 另外，可以看到均值和$z_t$噪声有关。在反向过程中，利用前向过程提供的每一步所添加的噪音当作标签进行训练，进而进行拟合，估计出噪声$z_t$。
  

参考资料

1. B站强推！2023公认最通俗易的扩散模型【Diffusion】3小时入门到精通，比GAN
2. 什么是扩散模型？