文章目录
- 1. 基本数据结构概述
- 1.1 数据结构和算法的关系
- 1.2 线性数据结构概述
- 1.3 二叉树简介
- 2. 栈
- 2.1 手写栈
- 2.2 C++STL栈
- 2.3 Java 栈
- 2.4 Python栈
- 3 习题
1. 基本数据结构概述
很多计算机教材提到：程序 = 数据结构 + 算法。
“以数据结构为弓，以算法为箭”
数据结构是是计算机存储、组织数据的方法。常用的数据结构有：数组（Array）、栈（Stack）、队列（Queue）、链表（Linked List）、树（Tree）、图（Graph）、堆（Heap）、散列表（Hash）等。分为两大类：线性表、非线性表。数组、栈、队列、链表是线性表，其他是非线性表。
1.1 数据结构和算法的关系
数据结构和算法往往密不可分。下面以图的存储为例，说明数据结构和算法的关系。这几种存图的数据结构，各有优缺点，也各有自己的应用场景。
（1）边集数组
定义结构体数组：
struct Edge{
int u, v, w;
}edges[M];
其中(u,v,w)表示一条边，起点是u，终点是v，边长是w。edges[M]可以存M条边。
边集数组的优点：是最节省空间的存图方法，存储空间不可能再少了。n=1000个点，m=5000条边的图，使用的存储空间是12×5000 = 60KB。
边集数组的缺点：不能快速定位某条边。如果要找某点u和哪些点有边连接，得把整个edges[M]从头到尾搜一遍才能知道。
边集数组的的应用场景：如果算法不需要查找特定的边，就用边集数组。例如最小生成树Kruskal算法、最短路径Bellman-ford算法。
（2）邻接矩阵
定义一个二维数组：
int edge[N][N];
其中edge[i][j]表示点i和点j之间有一条边，边长为edge[i][j]。它可以存N个点的边。若edge[i][j]=0，表示i和j之间没有边；若edge[i][j] != 0，i和j之间有边，边长为edge[i][j]。
邻接矩阵的优点：能极快地查询任意两点之间是否有边。如果edge[i][j] != 0，说明点i和j之间有一条边，边长edge[i][j]。
邻接矩阵的缺点：如果图是一张稀疏图，大部分点和边之间没有边，那么邻接矩阵很浪费空间，因为大多数edge[][]=0，没有用到。n=1000个点，m=5000条边的图，使用的存储空间是12×1000×1000 = 12MB。
邻接矩阵的应用场景：（1）稠密图，几乎所有的点之间都有边，edge[][]数组几乎用满了，很少浪费；（2）算法需要快速查找边，而且计算结果和任意两点的关系有关，例如最短路径算法的Floyd算法。
（3）邻接表
邻接矩阵的优点：十分节省空间，因为只存储存在的边。
邻接矩阵的缺点：没有明显的缺点。它的存储空间只比边集数组大一点点，而查询边的速度只比邻接矩阵慢一点点。
邻接矩阵应用场景：基于稀疏图的大部分算法。
1.2 线性数据结构概述
在所有数据结构中，线性表是最简单的。线性表有数组、链表、队列、栈，它们有一个共同的特征：把同类型的数据一个接一个地串在一起。
下面对线性表做个概述，并比较它们的优缺点。
（1）数组
数组是最最简单的数据结构，它的逻辑结构和物理内存的存储完全一样。例如C语言中定义一个整型数组int a[10]，系统会分配一个40字节的存储空间，这100个字符的存储地址是连续的。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
int a[10];
for (int i=0;i<10;i++)
cout << &a[i] << " "; //打印10个整数的存储地址
return 0;
}
在作者机器上运行，输出10个整数的存储地址：
0x6dfec4 0x6dfec8 0x6dfecc 0x6dfed0 0x6dfed4 0x6dfed8 0x6dfedc 0x6dfee0 0x6dfee4 0x6dfee8
数组的优点：（1）简单，容易编程；（2）访问快捷，要定位到某个数据，只需使用下标即可，例如a[0]是第1个数据，a[i]是第i-1个数据；（3）与某些应用场景直接对应，例如数列是一维数组，可以在一维护数组上排序，矩阵是二维数组，表示空间坐标，等等。
数组的缺点：删除和增加数据很麻烦，非常耗时。例如要删除数组int a[10]的第5个数据，只能采用覆盖的方法，从第6个数据开始，每个往前挪一位。增加数据也麻烦，例如要在第5个位置插入一个数据，只能把原来第5个开始的数据逐个往后挪一位，空出第5个位置给新数据。
（2）链表
链表是为了克服数组的缺点提出的一种线性表，链表的插入和删除操作，不需要挪动其他数据。简单地说，链表是“是用指针串起来的数组”。链表的数据不是连续存放的，而是用指针串起来的。例如下图删除链表的第3个数据，只要把原来连接第3个数据的指针断开，然后连接它前后的数据即可，不用挪动其他的数据。
链表的优点：增加和删除数据很便捷。这个优点弥补了数组的缺点。
链表的缺点：定位某个数据比较麻烦。例如要输出第5个数据，需要从链表头开始，沿着指针一步步走，找到第5个。链表的这个缺点却是数组的优点。
链表和数组的优缺点正好相反，它们的应用场合不同，数组适合静态数据，链表适合动态数据。
链表如何编程实现？在常见的数据结构教材中，链表的数据节点是动态分配的，各节点之间用指针来连接。但是在算法竞赛中，如果手写链表，一般不用动态分配，而是用静态数组来模拟。
手写链表的代码见题目：排队顺序
题解
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int arr[1000010];
int main()
{
int n;
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> arr[i];
}
int head;
cin >> head;
cout << head;
while (arr[head] != 0) {
cout << " " << arr[head];
head = arr[head];
}
return 0;
}
当然，除非必要，一般不手写链表，而是用系统提供的链表，例如C++ STL的list，Java LinkedList，Python的list。
链表在蓝桥杯等算法竞赛中不太常用，所以本章没有详细介绍。
（3）队列
队列是线性数据的一种使用方式，模拟现实世界的排队操作。例如排队购物，只能从队头离开队伍，新来的人只能排到队尾，不能插队。队列有一个出口和一个入口，出口是队头，入口是队尾。队列的编程实现，可以用数组，也可以用链表。
队列这种数据结构无所谓优缺点，只有适合不适合。例如宽度优先搜索BFS，就是基于队列的，用其他数据结构都不合适。
（4）栈
栈也是线性数据的一种使用方式，模拟现实世界的单出入口。例如一管泡腾片，先放进去的泡腾片后出来。栈的编程比队列更简单，同样可以用数组或链表实现。
栈有它的使用场合，例如递归使用栈来处理函数的自我调用过程。
1.3 二叉树简介
二叉树是一种高度组织性、高效率的数据结构。例如在一棵有n个节点的满二叉树上定位某个数据，只需走logn步，插入和删除某个数据也只需logn步。在二叉树的基础上发展出了很多高级数据结构和算法。大多数高级数据结构，例如树状数组、线段树、树链剖分、平衡树、动态树等，都是基于二叉树的。
2. 栈
栈（stack）是比队列更简单的数据结构，它的特点是“先进后出”。
队列有两个口，一个入口和一个出口。而栈只有唯一的一个口，既从这个口进入，又从这个口出来。所以如果自己写栈的代码，比队列的代码更简单。
2.1 手写栈
如果使用环境简单，最简单的手写栈代码用数组实现。
const int N = 300008; //定义栈的大小
struct mystack{
int a[N]; //存放栈元素，从a[0]开始
int t = -1; //栈顶位置，初始栈为空，置初值为-1
void push(int data){ a[++t] = data; } //把元素data送入栈
int top() { return a[t]; } //读栈顶元素，不弹出
void pop() { if(t>-1) t--;} //弹出栈顶
int size() { return t+1;} //栈内元素的数量
int empty() { return t==-1 ? 1:0; } //若栈为空返回1
};
使用栈时要注意不能超过栈的空间。上面第1行定义了栈的大小是N，栈内的元素数量不要超过它。
用下面的例子给出上述手写代码的应用。
例题：表达式括号匹配
题解：
合法的括号串例如“(())”、“()()()”，像“)(()”这样是非法的。合法括号组合的特点是：左括号先出现，右括号后出现；左括号和右括号一样多。
括号组合的合法检查是栈的经典应用。用一个栈存储所有的左括号。遍历字符串的每一个字符，处理流程是：
（1）若字符是 ‘(’，进栈。
（2）若字符是’)'，有两种情况：如果栈不空，说明有一个匹配的左括号，弹出这个左括号，然后继续读下一个字符；如果栈空了，说明没有与右括号匹配的左括号，字符串非法，输出NO，程序退出。
（3）读完所有字符后，如果栈为空，说明每个左括号有匹配的右括号，输出YES，否则输出NO。
C++代码
手写栈：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 300008; //定义栈的大小
struct mystack{
int a[N]; //存放栈元素，从a[0]开始
int t = -1; //栈顶位置，初始栈为空，置初值为-1
void push(int data){ a[++t] = data; } //把元素data送入栈
int top() { return a[t]; } //读栈顶元素，不弹出
void pop() { if(t>-1) t--; } //弹出栈顶
int size() { return t+1;} //栈内元素的数量
int empty() {return t==-1 ? 1:0; } //若栈为空返回1
}st;
int main(){
char x;
while(cin>>x){ //循环输入
if(x=='@') break; //输入为@停止；
if(x=='(') st.push(x); //左括号入栈
if(x==')'){ //遇到一个右括号
if(st.empty()) {cout<<"NO";return 0;} //栈空，没有左括号与右括号匹配
else st.pop(); //匹配到一个左括号，出栈
}
}
if(st.empty()) cout<<"YES"; //栈为空，所有左括号已经匹配到右括号，输出yes
else cout<<"NO";
return 0;
}
STL：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string str;
stack<char> ops;
int main()
{
cin >> str;
long res = 0;
for (int i = 0; i < str.length(); i++) {
char c = str[i];
if (c == '(') {
ops.push(c);
}
else if (c == ')') {
if (!ops.empty()) {
ops.pop();
}
else {
cout << "NO";
return 0;
}
}
}
if (!ops.empty()) {
cout << "NO";
return 0;
}
cout << "YES";
return 0;
}
Java代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static final int N = 300008;
static class mystack {
int[] a = new int[N];
int t = -1;
void push(int data) { a[++t] = data; }
int top() { return a[t]; }
void pop(){ if(t > -1) t--; }
int size(){ return t + 1; }
boolean empty() { return t == -1 ? true : false; }
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
mystack st = new mystack();
String s = sc.next();
for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
char x = s.charAt(i);
if(x == '@') break;
if(x == '(') st.push(x);
if(x == ')') {
if(st.empty()) {
System.out.println("NO");
return;
}
else st.pop();
}
}
if(st.empty()) System.out.println("YES");
else System.out.println("NO");
}
}
Python代码
Python的手写栈用到了list。用list模拟栈有一个好处，不用担心栈空间不够大，因为list自动扩展空间。而且list的栈操作非常快，因为栈顶是list的末尾元素，栈只有一个出入口，只在list的末尾进行进栈和出栈操作，操作极为快捷。下面是list实现的栈功能。
下面是例题的Python代码，栈用list模拟。
st = [] #定义栈，用list实现
flag = True #判断左括号和右括号的数量是否一样多
s = input().strip()
for x in s:
if x=='(': st.append("(") #进栈
if x==")":
if len(st)!=0: #len()：栈的长度
st.pop() #出栈，也可以写成 del st[-1] ，st[-1]是栈顶
else: #栈已空，没有匹配的左括号
flag = False
break
if len(st)==0 and flag: print('YES')
else: print('NO')
2.2 C++STL栈
竞赛时一般不自己手写栈，而是用STL stack：https://wyqz.top/p/870124582.html#toc-heading-9。
STL stack的主要操作见下表。
用下面的例题说明STLqueue的应用
例题：排列
题解：
把符合条件的一对<i, j>称为一个“凹”。首先模拟检查“凹”，了解执行的过程。以“3 1 2 5”为例，其中的“凹”有：“3-1-2”和“3-1-2-5”；还有相邻的“3-1”、“1-2”、“2-5”。一共5个“凹”，总价值13。
像“3-1-2”和“3-1-2-5”这样的“凹”，需要检查连续3个以上的数字。
例如“3 1 2”，从“3”开始，下一个应该比“3”小，例如“1”，再后面的数字比“1”大，才能形成“凹”。
再例如“3-1-2-5”，前面的“3-1-2”已经是“凹”了，最后的“5”也会形成新的“凹”，条件是这个“5”必须比中间的“1-2”大才行。
总结上述过程是：先检查“3”；再检查“1”符合“凹”；再检查“2”，比前面的“1”大，符合“凹”；再检查“5”，比前面的“2”大，符合“凹”。
以上是检查一个“凹”的两头，还有一种是“嵌套”。一旦遇到比前面小的数字，那么以这个数字为头，可能形成新的“凹”。例如“6 4 2 8”，其中的“6-4-2-8”是“凹”，内部的“4-2-8”也是凹。如果学过递归、栈，就会发现这是嵌套，所以本题用栈来做很合适。
以“6 4 2 8”为例，用栈模拟找“凹”。当新的数比栈顶的数小，就进栈；如果比栈顶的数大，就出栈，此时找到了一个“凹”并计算价值。下图中的圆圈数字是数在数组中的下标位置，用于计算题目要求的价值。
图(1)：6进栈。
图(2)：4准备进栈，发现比栈顶的6小，说明可以形成凹，4进栈。
图(3)：2准备进栈，发现比栈顶的4小，说明可以形成凹，2进栈。
图(4)：8准备进栈，发现比栈顶的2大，这是一个凹“4-2-8”，对应下标“②–④”，弹出2，然后计算价值，j-i+1=④-②+1=3。
图(5)：8准备进栈，发现比栈顶的4大，这是一个凹“6-4-8”，对应下标“①–④”，弹出4，然后计算价值，j-i+1=④-①+1=4。
图(6)：8终于进栈了，数字也处理完了，结束。
在上述过程中，只计算了长度为3和3以上的凹，并没有计算题目中“（3）a[i]-a[j]之间不存在其他数字”的长度为2的凹，所以最后统一加上这种情况的价值(n-1)×2 = 6。
最后统计得“6 4 2 8”的总价值是3+4+6=13。
C++代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 300008;
int a[N]; //这里a[]是题目的数字排列
int main(){
int n; cin>>n;
for(int i = 1;i <= n;i++) cin>>a[i]; //输入数列
stack <int> st; //定义栈
long long ans = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++){
while(!st.empty() && a[st.top()] < a[i]){
st.pop();
if(!st.empty()){
int last = st.top();
ans += (i - last + 1);
}
}
st.push(i);
}
ans += (n - 1) * 2; //（3）a[i]-a[j]之间不存在其他数字的情况
cout<<ans;
}
2.3 Java 栈
Java Stack https://docs.oracle.com/en/java/javase/14/docs/api/java.base/java/util/Stack.html
有以下操作。
例题 排列 的Java代码。
import java.util.Scanner;
import java.util.Stack;
public class Main {
static final int N = 300008;
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
int[] a = new int[N];
for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = sc.nextInt();
Stack<Integer> st = new Stack<>();
long ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
while(!st.empty() && a[st.peek()] < a[i]) {
st.pop();
if(!st.empty()) {
int last = st.peek();
ans += (long)(i - last + 1);
}
}
st.push(i);
}
ans += (n - 1) * 2;
System.out.println(ans);
}
}
2.4 Python栈
python的栈可以用以下三种方法实现：（1）list；（2）deque；（3）LifoQueue。比较它们的运行速度，list和deque一样快，而LifoQueue慢得多，建议使用list。前面已经介绍了用list实现栈的方法。
下面是例题 排列 的代码。
n = int(input())
a = [int(x) for x in input().split()]
st = [] #定义栈，用list实现
ans = 0
for i in range(n):
while len(st) != 0 and a[st[-1]] < a[i]: #st[-1]是栈顶
st.pop() #弹出栈顶
if len(st) != 0:
last = st[-1] #读栈顶
ans += (i - last + 1)
st.append(i) #进栈
ans += (n - 1) * 2
print(ans)
3 习题
表达式括号匹配
表达式求值
小鱼的数字游戏
后缀表达式
【模板】栈
栈
