题解校验码—CRC循环校验码与海明校验码

码距

一个编码系统的码距是任意两个码字的最小距离。

例如个编码系统采用三位长度的二进制编码,若该系统有四种编码分别为:000,011,100,111,此编码系统中000与111的码距为3;011与000的码距为2;011与111的码距为1,则该编码系统的码距为1。

码距计算方法:两个编码按位异或后1的个数。101异或100 = 001,1的个数为1,所以码距为1。

为了检测e个误码,最小码距d满足:d>=e+1;为了纠正t个误码,最小码距d满足:d>=2t+1

循环校验码

数据发送、接受方约定一个“除数”,在K个信息位后拼接R个校验位作为“被除数”,添加校验位后需保证除法的余数为0。收到数据后,进行除法检查余数是否为0,若余数非0说明出错,则进行重传或纠错。

例如:原始报文为"1100101",其生成多项式为"x4+x3+x+1",求CRC编码结果?

  1. K=原始报文长度=7,R=生成多项式最高次幂=4,“除数”为生成多项式对应二进制码11011
  2. 原始报文左移R位,低位补0,求得“被除数”(11001010000
  3. 做模2除法产生余数:1001
    请添加图片描述
  4. 求得CRC编码为:11001011001

海明校验码

海明校验码是一种多重奇偶检错系统,求海明码时的一项基本考虑是确定所需最少的校验位数k。考虑长度为m位的信息,若附加了k 个校验位,则所发送的总长度为m+k。在接收器中要进行k个奇偶检查,每个检查结果或是真或是伪,k位的校验码可以用来确定误码的位置。m与k的关系:2k≥m+k+1

求信息1011的海明码?

  1. 根据公式2k≥4+k+1,有k=3,3位校验码从低到高需要放在20=1,21=2,22=4三个位置上,则信息位需要放在第3,5,6,7四个位置,记为M1,M2,M3,M4,如下表。
7654321位数
M4=1M3=0M2=1M1=1信息位
k3k2k1校验位
k1+k2+k3k2+k3k1+k3k1+k3校验位组
  1. 计算校验位组。7=20+21+22=1+2+4,表示第7位置的M4需要用1位置的k1、2位置的k2和4位置的k3进行校验,同理计算k1、k2、k3也与M4有关。依次计算M1到M4对应的校验位组,如上表。
  2. 求校验位的值,如下图所示:
    请添加图片描述
  3. 将1-7位拼接为海明码:1010101

在接收方,也可以根据校验位对接收到的信息进行测试,例如收到1011101,如何校验?

  1. 根据前述流程提取出‘1011101’的信息位1011,校验位101
  2. 由信息位1011按步骤计算出校验位001
  3. 101异或001得出结果100(只有得出结果000说明传输无误)二进制100表示第4位置出错

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