机器学习第7天：逻辑回归

文章目录

介绍

概率计算

逻辑回归的损失函数

单个实例的成本函数

整个训练集的成本函数

鸢尾花数据集上的逻辑回归

Softmax回归

Softmax回归数学公式

Softmax回归损失函数

调用代码

参数说明

结语

介绍

作用：使用回归算法进行分类任务

思想：将回归值转为概率值，然后找到一个适当的数值，当概率大于这个值时，归为一类，当小于这个值时，归为另一类

概率计算

$p=\sigma (x^{T}w)$

函数的输入值为特征的加权和 $x^{T}w$

$\sigma$ 是sigmoid函数，公式为

$\sigma(t) =\frac{1}{1+e^{(-t)}}$

函数图像为

可见它输出一个0-1的值，我们可以将这个值当作概率

则我们可以通过这个概率来分类，设定一个值，在这个值的两端进行分类

逻辑回归的损失函数

单个实例的成本函数

当p>=0.5时

$c(w)=-log(p)$

当p<0.5时

$c(w)=-log(1-p)$

整个训练集的成本函数

$J(w)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}[y^{i}log(p^{i})+(1-y^{i})log(1-p^{i})]$

这个损失函数也是一个凸函数，可以使用梯度下降法使损失最小化

鸢尾花数据集上的逻辑回归

鸢尾花数据集是机器学习中一个经典的数据集，它有花瓣和花萼的长和宽，任务是用它们来判断鸢尾花的种类

看代码和效果

from sklearn import datasets
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


iris = datasets.load_iris()

x = iris["data"][:, 3:]
y = (iris["target"] == 2)

model = LogisticRegression()
model.fit(x, y)

x_new = np.linspace(0, 3, 1000).reshape(-1, 1)
y_proba = model.predict_proba(x_new)
plt.plot(x_new, y_proba[:, 1], "g-", label="Iris virginica")
plt.plot(x_new, y_proba[:, 0], "b--", label="Not Iris virginica")

plt.xlabel("Petal width")
plt.ylabel("probability")

plt.legend()
plt.show()

可以看见，当花瓣长度变化的时候，两种花种类的概率随之变化

简单介绍一下新的代码，predict.proba方法返回样本为可能的两种花的概率。

Softmax回归

上述方法主要用于二分类任务，我们再来看一种多分类方法，Softmax回归

Softmax回归数学公式

$Softmax(s_{i})=\frac{e^{s_{i}}}{\sum_{j=1}^{n}e^{s_{j}}}$

Softmax函数也叫指数归一化函数，它对x进行指数处理再进行归一化得出一个概率

这个函数的自变量为一个分数s，这个s由我们的数据的转置矩阵与一个参数相乘得来

$s = x^{T}\theta$

对于不同的类，参数 $\theta$ 都不相同，模型训练的任务就是拟合这个参数

Softmax回归损失函数

$L = -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\sum_{K}^{k=1}y_{k}^{i}log(p_{k}^{i})$

当k=2时（二分类），此成本函数等于sigmoid逻辑回归的成本函数

调用代码

model = LogisticRegression(multi_class="multinomial", solver="lbfgs", C=10)
model.fit(x, y)

参数说明

multi_class="multinomial": 表示采用多类别分类，即多类别的逻辑回归问题，与二元逻辑回归不同。

solver="lbfgs": 表示使用LBFGS（Limited-memory Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno）优化算法进行求解。

C=10: 表示正则化参数，控制模型的正则化强度，C值越小，正则化强度越高。

结语

逻辑回归是一种简单的分类方法，二分类任务就用第一种方法，多分类任务就用第二种方法

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