归并分治 前置知识：讲解021-归并排序

归并排序 图解 递归 + 非递归 + 笔记-CSDN博客https://blog.csdn.net/weixin_41987016/article/details/134338789?spm=1001.2014.3001.5501原理：

• (1）思考一个问题在大范围上的答案，是否等于，左部分的答案 + 右部分的答案 + 跨越左右产生的答案
• (2）计算“跨越左右产生的答案”时，如果加上左、右各自有序这个设定，会不会获得计算的便利性
• (3）如果以上两点都成立，那么该问题很可能被归并分治解决（话不说满，因为总有很毒的出题人）
• (4）求解答案的过程中只需要加入归并排序的过程即可，因为要让左、右各自有序，来获得计算的便利性

补充：

• (1）一些用归并分治解决的问题，往往也可以用线段树，树状数组等解法。时间复杂度也都是最优解，这些数据结构都会在【扩展】
• (2）本书讲述的题目都是归并分治的常规题，难度不大。归并分治不仅可以解决简单问题，还可以解决很多较难的问题，只要符合上面说的特征。比如二维空间里任何两点间的最短距离问题，这个内容会在【挺难】课程阶段里讲述。顶级公司考这个问题的也很少，因为很难，但是这个问题本身并不冷门，来自《算法导论》原题
• (3）还有一个常考的算法：“整块分治”。会在【必备】课程阶段讲到

【举个栗子】假设数组 s = [1,3,5,2,4,6]，给定一个数组arr，实现函数返回arr的“小和”

    在s[0]的左边所有 <= s[0]的数的总和为0
    在s[1]的左边所有 <= s[1]的数的总和为1
    在s[2]的左边所有 <= s[2]的数的总和为4
    在s[3]的左边所有 <= s[3]的数的总和为1
    在s[4]的左边所有 <= s[4]的数的总和为6
    在s[5]的左边所有 <= s[5]的数的总和为15
所以s数组的 “小和” 为：0 + 1 + 4 + 1 + 6 + 15 = 27

• 求"小和"问题是，当我 j 来到一个位置的时候，你的左侧 i 去给我划答案  

C++代码：

#include <iostream>
using namespace std;
#include <vector>

// 返回跨左右产生的小和累加和,左侧有序、右侧有序，让左右两侧整体有序
// arr[left...mid] arr[mid+1...right]
long merge(vector<int>& arr,int left, int mid, int right) {
	int n = right - left + 1;
	vector<int> help(n, 0);
	// 统计部分
	long ans = 0;
	for (int j = mid + 1, i = left, sum = 0; j <= right; j++) {
		while (i <= mid && arr[i] <= arr[j]) {
			sum += arr[i++];
		}
		ans += sum;
	}
	// 正常merge
	int i = 0;
	int a = left;
	int b = mid + 1;
	while (a <= mid && b <= right) {
		help[i++] = arr[a] <= arr[b] ? arr[a++] : arr[b++];
	}
	while (a <= mid) {
		help[i++] = arr[a++];
	}
	while (b <= right) {
		help[i++] = arr[b++];
	}
	for (i = 0; i < n; i++) {
		arr[i+left] = help[i];
	}
	return ans;
}

// 结果比较大，用 int 会溢出的，所以返回 long 类型
// 特别注意溢出这个点，笔试常见坑
// 返回arr[left...right]范围上，小和的累加和，同时把arr[left...right]变有序
long smallSum(vector<int>&arr, int left, int right) {
	if (left == right) return 0;
	//int mid = (left + right) / 2;
	int mid = left + ((right - left) >> 1);
	return smallSum(arr,left, mid) + smallSum(arr,mid + 1, right) + merge(arr,left, mid, right);
}

int main() {
	vector<int>arr = { 7,7,6,2,6,5,4,9 };
	//vector<int>arr = { 1, 3, 5, 2, 4, 6 };
	int n = arr.size();
	cout<<"该数组的小和为："<<smallSum(arr,0, n - 1)<<endl;
	system("pause");
	return 0;
}

计算数组的小和__牛客网 (nowcoder.com)https://www.nowcoder.com/questionTerminal/edfe05a1d45c4ea89101d936cac32469?f=discussion

•  实战牛客网的[编程题]计算数组的小和

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
// 返回跨左右产生的小和累加和,左侧有序、右侧有序，让左右两侧整体有序
// arr[left...mid] arr[mid+1...right]
long merge(vector<int>& arr, int left, int mid, int right) {
	int n = right - left + 1;
	vector<int> help(n, 0);
	// 统计部分
	long ans = 0;
	for (int j = mid + 1, i = left, sum = 0; j <= right; j++) {
		while (i <= mid && arr[i] <= arr[j]) {
			sum += arr[i++];
		}
		ans += sum;
	}
	// 正常merge
	int i = 0;
	int a = left;
	int b = mid + 1;
	while (a <= mid && b <= right) {
		help[i++] = arr[a] <= arr[b] ? arr[a++] : arr[b++];
	}

	while (a <= mid) {
		help[i++] = arr[a++];
	}
	while (b <= right) {
		help[i++] = arr[b++];
	}
	for (i = 0; i < n; i++) {
		arr[i + left] = help[i];
	}
	return ans;
}


// 结果比较大，用 int 会溢出的，所以返回 long 类型
// 特别注意溢出这个点，笔试常见坑
// 返回arr[left...right]范围上，小和的累加和，同时把arr[left...right]变有序
long smallSum(vector<int>& arr, int left, int right) {
	if (left == right) return 0;
	//int mid = (left + right) / 2;
	int mid = left + ((right - left) >> 1);
	return smallSum(arr, left, mid) + smallSum(arr, mid + 1, right) + merge(arr, left, mid, right);
}

int main() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<int> arr(n, 0);
	for (int i = 0; i < n; i++) cin >> arr[i];
	cout << smallSum(arr, 0, n - 1) << endl;
	return 0;
}

参考和推荐视频：

算法讲解022【必备】归并分治_哔哩哔哩_bilibilihttps://www.bilibili.com/video/BV1L14y1B7ef/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.-1&vd_source=a934d7fc6f47698a29dac90a922ba5a3