【经验模态分解】4.信号由时域向频域的转换

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 * @poject          经验模态分解及其衍生算法的研究及其在语音信号处理中的应用
 * @file            傅里叶变换与小波变换
 * @author			jUicE_g2R(qq:3406291309)
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 * @language        MATLAB
 * @EDA				Base on matlabR2022b
 * @editor			Obsidian（黑曜石笔记软件）
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 * @copyright		2023
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$EM D$ 是基于 傅里叶变换与小波变换 的改进
$EM D$ 与 离散小波变换 产生的背景是基于解决 傅里叶变换与小波变换 在 时间尺度 上存在的缺陷

文章目录

1 傅里叶变换与短时傅里叶变换
- 1-1 （传统的）傅里叶变换
- - 1-1-1 优点
  - 1-1-2 缺陷
- 1-2 短时傅里叶变换
- 1-3 信号的频谱图和时频图实验
- - 1-3-1 打开信号分析器APP
  - 1-3-2 面板设置
  - 1-3-3 拖入信号
  - 1-3-4 设置采样率 $S am pl e R a t e$
  - 1-3-5 对每个面板选中相应的信号
  - 1-3-6 选中面板并点击上方工具栏的**频谱**获得相应的频谱图
  - 1-3-7 结论
2 离散小波变换
- 2-1 尺度因子
- 2-2 平移因子

1 傅里叶变换与短时傅里叶变换

1-1 （传统的）傅里叶变换

傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将 时域上的信号转换到频域上 的数学工具

1-1-1 优点

优点	详细说明
可时频转换	傅里叶变换可以将时域上的信号转换为频域上的信号，便于对信号的频率特征进行分析和处理
可分解	傅里叶变换可以将信号分解成多个不同频率的正弦和余弦函数，这些分量可以提供有关信号频率和振幅的信息
线性性	傅里叶变换具有线性性，可以对多个信号进行叠加处理
可逆性	可以将频率域上的信号转换回时域上的信号

1-1-2 缺陷

缺陷	详细说明
实时性差	傅里叶变换是一种理论分析工具，不适合对信号进行实时处理，因此需要使用快速傅里叶变换（FFT）等算法来加速计算
普适性差	傅里叶变换需要将整个信号在时间上进行全局分析，计算复杂度较高，不适合对长时间信号进行处理
局部性差	傅里叶变换对信号的局部特征无法进行分析，对于非周期性信号和突发性信号的频谱分析效果较差
处理特殊情况效果差	傅里叶变换对于非线性信号、带噪声信号等情况处理效果较差

傅里叶变换 是对一段信号不分时间先后来观察其中的频率成分及各个频率成分的贡献，即没有时间分辨率（不可通过傅里叶变换知道一个特定时间点的频率成分）

1-2 短时傅里叶变换

短时傅里叶变换 是基于（传统的）傅里叶变换 中 时间分辨率的缺陷 给出了相应的改进方法

短时：即将长段信号源拆分成多段短的信号源（但是 窗口大小是固定的【固定窗长】，这也是它的缺陷）

Ts = 0:0.001:2; 						% 采样频率1000次每秒，时长为2s
%% 两个源信号用的是扫频函数chirp()
Sig_Low2High = chirp(Ts, 50, 2, 300); 	% 低频到高频：从 50Hz  线性升至 300Hz
Sig_High2Low = chirp(Ts, 300, 2, 50);	% 高频到地频：从 300Hz 线性升至 50Hz

1-3 信号的频谱图和时频图实验

步骤：

1-3-1 打开信号分析器APP

1-3-2 面板设置

在这里插入图片描述

1-3-3 拖入信号

在这里插入图片描述

1-3-4 设置采样率 $S am pl e R a t e$

在这里插入图片描述
注：两个信号要分别修改对应的 $S am pl e R a t e$

1-3-5 对每个面板选中相应的信号

在这里插入图片描述

1-3-6 选中面板并点击上方工具栏的频谱获得相应的频谱图

在这里插入图片描述

分析上述频谱图
左面板是高频到低频，右面板是低频到高频：
两边的频谱图是一模一样的，一个原因是两个信号都是扫频函数（频率线性变化），另一个是频谱工具箱得到的频谱图是通过 傅里叶变换 得到的（傅里叶变换是全局的，两个全局确实一样，但局部不一样）
选中面板并点击上方工具栏的时谱获得相应的时谱图

时频图是根据 短时傅里叶变换 得到的，很明显的可以看到两个信号的区别，同时体现了 短时傅里叶变换 具有 时间与频率的分辨率。

1-3-7 结论

傅里叶变换 相较于 短时傅里叶变换 存在明显的 时频分辨率 上的差异

2 离散小波变换

在频域上来看，离散小波变换 相当于一个 带通滤波器，相当于通过 尺度因子与平移因子

因子	作用
尺度因子	控制小波基的伸展程度（控制频率）
平移因子	控制时间

较 短时傅里叶变换 而言，离散小波变换 具有平衡 频率分辨率与时间分辨率 的优势

2-1 尺度因子

小波母函数
$C e n tF re q (中心频率) = S c a l e F a c t or (尺度因子) * f$

2-2 平移因子

能使得 时间和频率之间 达到平衡
离散小波变换 是对 短时傅里叶变换 在 固定窗长 这一特性出现 “低频精度不高，高频分辨率太低” 缺陷的一种解决办法。
$C (常数) = W d n L e n (窗长) * f$
高频时：具有很高的 时间分辨率，窗长小
低频时：具有很高的 频率精度，窗长大