目录
- 知识框架
- No.0 筑基
- No.1一维前缀和
- No.2 二维前缀和
- 题目来源：Acwing-796. 子矩阵的和
- No.1 普通前缀和
- 题目来源：牛客网-NC14556：数圈圈
- 题目来源：牛客网-NC14600：珂朵莉与宇宙
- 题目来源：牛客网-NC21195 ：Kuangyeye and hamburgers
- 题目来源：牛客网-NC19798：区间权值
- 题目来源：牛客网-NC15035：送分了qaq
- No.3 leetcode的之前做的前缀和
- 前缀和+哈希表
- 滑动窗口模板
- [209. 长度最小的子数组](https://leetcode.cn/problems/minimum-size-subarray-sum/)：滑动窗口
- [238. 除自身以外数组的乘积](https://leetcode.cn/problems/product-of-array-except-self/) 前缀和+后缀和
- [1004. 最大连续1的个数 III](https://leetcode.cn/problems/max-consecutive-ones-iii/)：滑动窗口
- [1124. 表现良好的最长时间段](https://leetcode.cn/problems/longest-well-performing-interval/)：前缀和+单调栈
- [724. 寻找数组的中心下标](https://leetcode.cn/problems/find-pivot-index/)：前缀和
- [560. 和为 K 的子数组](https://leetcode.cn/problems/subarray-sum-equals-k/)：前缀和+哈希表
- [1248. 统计「优美子数组」](https://leetcode.cn/problems/count-number-of-nice-subarrays/):前缀和+哈希表
- [974. 和可被 K 整除的子数组](https://leetcode.cn/problems/subarray-sums-divisible-by-k/)：前缀和+哈希表
- [523. 连续的子数组和](https://leetcode.cn/problems/continuous-subarray-sum/)：前缀和+哈希表
- [930. 和相同的二元子数组](https://leetcode.cn/problems/binary-subarrays-with-sum/)：前缀和+哈希表
- [904. 水果成篮](https://leetcode.cn/problems/fruit-into-baskets/)：滑动窗口+哈希表
- [904. 水果成篮](https://leetcode.cn/problems/fruit-into-baskets/)：滑动窗口+哈希表
知识框架
No.0 筑基
请先学习下知识点，道友！
题目知识点大部分来源于此：前缀和题目例题大部分来源于此：
No.1一维前缀和
S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]
No.2 二维前缀和
题目来源：Acwing-796. 子矩阵的和
题目描述：
题目思路：
模板：
S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]
题目代码：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m, q;
int a[N][N], s[N][N];
int main()
{
scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);//因为数据规模比较大所以建议用scanf
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
for (int j = 1; j <= m; j ++ ) scanf("%d", &a[i][j]);
}
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
for (int j = 1; j <= m; j ++ ) s[i][j] = s[i][j - 1] + s[i - 1][j] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
}//初始化前缀和数组
while (q--)
{
int x1, y1, x2, y2;
scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
}//询问
return 0;
}//该代码引用AcWing网站的代码
No.1 普通前缀和
题目来源：牛客网-NC14556：数圈圈
题目描述：
题目思路：
题目代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 1001000
long long n,m,t,k,d;
long long x,y,z;
char ch;
string str;
vector<int>v[N];
int num[10]={1,0,0,0,1,0,1,0,2,1}; //0~9
int onum[N+1];
int s[N+1];
void Init(){
for(int i=1;i<=N;i++){
str=to_string(i);
for(auto ss:str){
int num1=ss-'0';
onum[i]+=num[num1];
}
}
s[1]=0;
for(int i=2;i<=N;i++){
s[i]=s[i-1]+onum[i];
}
}
int main()
{
Init();
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>x>>y;
cout<<s[y]-s[x-1]<<endl;
}
return 0;
}
题目来源：牛客网-NC14600：珂朵莉与宇宙
题目描述：
题目思路：
题目代码：
//巧妙地利用求平方 变化为减去平方看差是否存在：
//通过指针的指向，那么一串数组中的任意子区间就可以用 两个前缀和 进行 相减 得到：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 100100
long long n,m,t,k,d;
long long x,y,z,c;
char ch;
string str;
vector<int>v[N];
int s[N+1];
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>x;
s[i]=s[i-1]+x;
}
int res=0;
int cnt[N];
cnt[0]=1; //前缀和为0的表示 直接前面n个为平方和了
//以每一个右边的端点为指针
for(int i=1;i<=n;i++){
//找到所有可能的平方和：//处理第i个前缀和的所有完全平方数
for(int j=0;j*j<=s[i];j++){
c=s[i]-j*j; //假设前面有前缀和==c的； 即
if(cnt[c]>0){ //如果前面有前缀和==c的 代表有子区间为j*j；
res+=cnt[c];
}
}
cnt[ s[i] ]++; // 已处理过的这个端点，加入到cnt里面 表示前面的 前缀和为s[i] 的前缀和的个数加一
}
cout<<res;
return 0;
}
题目来源：牛客网-NC21195 ：Kuangyeye and hamburgers
题目描述：
题目思路：
题目代码：
//vector 的 排序 比如降序： sort(v.rbegin(),v.rend());
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 100100
long long n,m,t,k,d;
long long x,y,z,c;
char ch;
string str;
vector<int>v[N];
int s[N+1]={0};
int main()
{
cin>>n>>m;
vector<int>ans;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>x;
ans.push_back(x);
}
sort(ans.rbegin(),ans.rend());
for(int i=0;i<ans.size();i++){
s[i+1]=s[i]+ans[i];
}
int res=0;
while(m--){
cin>>x>>y;
res=max(res,s[y]-s[x-1]);
}
cout<<res<<endl;
return 0;
}
题目来源：牛客网-NC19798：区间权值
题目描述：
题目思路：
题目代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 100100
long long n,m,t,k,d;
long long x,y,z,c;
char ch;
string str;
vector<int>v[N];
int s[N+1]={0};
int w[N+1];
int leijia(int l,int r){
return (s[r]-s[l-1])*w[r-l+1];
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>x;
s[i]=s[i-1]+x;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>w[i];
}
//下面这个双层循环了导致时间复杂度很高：
long long res=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i;j<=n;j++){
res=res+leijia(i,j);
}
}
//将 j 的那部分再进行前缀和：因此要把过程改写：
for(int j=1;j<=n;j++){
}
cout<<res%(1000000000+7);
return 0;
}
题目来源：牛客网-NC15035：送分了qaq
经典基础：对x经行分位数处理，直到没有位数
#include<stdio.h>
int check(int x)
{
int t=0;
while(x > 0)//对x经行分位数处理，直到没有位数
{
if(x % 10 == 3)
{
return 1；//如果已经有1接下来的位数便不用再判断了，直接可以return 1了
}
x /= 10;
}
return 0;
}
#include <stdio.h>
int main()
{
int m,n;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{if (m == 0 && n == 0)
break;
int ans=0;
for(int i=n;i<=m;i++)
{
int x=i;
while(x)
{
if(x%10==4||x%100==38) {ans++;break;}
x/=10;
}
}
printf("%d\n",ans);
}
}
No.3 leetcode的之前做的前缀和
【动画模拟】一文秒杀七道题 - 连续的子数组和 - 力扣（LeetCode）
前缀和+哈希表
要想着变化方程式，，比如哈希表的那个 pre[i] - pre[j-1] = k 变化为 pre[i] - k ; 找存在。
滑动窗口模板
滑动窗口是什么呢？ 可能是 一个start指针，一个end指针，进而进行滑动，根据一些题目条件进行移动。。
《挑战程序设计竞赛》这本书中把滑动窗口叫做「虫取法」，我觉得非常生动形象。因为滑动窗口的两个指针移动的过程和虫子爬动的过程非常像：前脚不动，把后脚移动过来；后脚不动，把前脚向前移动。
我分享一个滑动窗口的模板，能解决大多数的滑动窗口问题：
def findSubArray(nums):
N = len(nums) # 数组/字符串长度
left, right = 0, 0 # 双指针，表示当前遍历的区间[left, right]，闭区间
sums = 0 # 用于统计 子数组/子区间 是否有效，根据题目可能会改成求和/计数
res = 0 # 保存最大的满足题目要求的 子数组/子串 长度
while right < N: # 当右边的指针没有搜索到 数组/字符串 的结尾
sums += nums[right] # 增加当前右边指针的数字/字符的求和/计数
while 区间[left, right]不符合题意: # 此时需要一直移动左指针，直至找到一个符合题意的区间
sums -= nums[left] # 移动左指针前需要从counter中减少left位置字符的求和/计数
left += 1 # 真正的移动左指针，注意不能跟上面一行代码写反
# 到 while 结束时，我们找到了一个符合题意要求的 子数组/子串
res = max(res, right - left + 1) # 需要更新结果
right += 1 # 移动右指针，去探索新的区间
return res
滑动窗口中用到了左右两个指针，它们移动的思路是：以右指针作为驱动，拖着左指针向前走。右指针每次只移动一步，而左指针在内部 while 循环中每次可能移动多步。右指针是主动前移，探索未知的新区域；左指针是被迫移动，负责寻找满足题意的区间。
模板的整体思想是：
-
定义两个指针
left和right分别指向区间的开头和结尾，注意是闭区间；定义sums用来统计该区间内的各个字符出现次数； -
第一重
while循环是为了判断right指针的位置是否超出了数组边界；当right每次到了新位置，需要增加right指针的求和/计数； -
第二重 while 循环是让 left 指针向右移动到 [left, right] 区间符合题意的位置；当 left 每次移动到了新位置，需要减少 left 指针的求和/计数；
-
在第二重 while 循环之后，成功找到了一个符合题意的 [left, right] 区间，题目要求最大的区间长度，因此更新 res 为 max(res, 当前区间的长度) 。
-
right指针每次向右移动一步，开始探索新的区间。 -
模板中的 sums 需要根据题目意思具体去修改，本题是求和题目因此把sums 定义成整数用于求和；如果是计数题目，就需要改成字典用于计数。当左右指针发生变化的时候，都需要更新 sums
209. 长度最小的子数组：滑动窗口
class Solution {
public:
int minSubArrayLen(int s, vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
if (n == 0) {
return 0;
}
int ans = INT_MAX;
int start = 0, end = 0;
int sum = 0;
while (end < n) {
sum += nums[end];
while (sum >= s) {
ans = min(ans, end - start + 1);
sum -= nums[start];
start++;
}
end++;
}
return ans == INT_MAX ? 0 : ans;
}
};
238. 除自身以外数组的乘积 前缀和+后缀和
class Solution {
public:
vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) {
int n=nums.size();
int sumq[n];
int sumh[n];
for(int i=0;i<n;i++){
if(i==0)sumq[i]=nums[i];
else sumq[i]=sumq[i-1]*nums[i];
}
for(int i=n-1;i>=0;i--){
if(i==n-1)sumh[i]=nums[i];
else sumh[i]=sumh[i+1]*nums[i];
}
vector<int>ans;
ans.push_back(sumh[1]);
for(int i=1;i<n-1;i++){
ans.push_back(sumq[i-1]*sumh[i+1]);
}
ans.push_back(sumq[n-2]);
return ans;
}
};
1004. 最大连续1的个数 III：滑动窗口
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class Solution {
public:
int longestOnes(vector<int>& nums, int k) {
int n=nums.size();
int left = 0,right=0,sum=0;
int res=0;
for( ;right<n;right++){
if(nums[right]==0)sum++;
while(sum>k){
if(nums[left]==0)sum--;
left++;
}
res=max(res,right-left+1);
}
return res;
}
};
1124. 表现良好的最长时间段：前缀和+单调栈
// 首先尝试滑动窗口 进行 求解，，但是不行，只能通过一半。
//我一开始也以为是滑动窗口，但想这样的case：[1,2,3,9,9,9,9,9];类似这样的滑窗做不了
class Solution {
public:
int longestWPI(vector<int>& hours) {
int n=hours.size();
int left=0,right=0,sum1=0;
int res=0;
for(;right<n;right++){
if(hours[right]>8)sum1++;
else sum1--;
while(sum1<=0&&left<=right){
if(sum1<=0&&left==right)break;
if(hours[left]>8)sum1--;
else sum1++;
left++;
}
res=max(res,right-left+1);
}
return res;
}
};
// 下面的有点偏暴力了
class Solution {
public:
int longestWPI(vector<int>& hours) {
int n=hours.size();
int sum[n];
int nums[n];
for(int i=0;i<n;i++){
if(hours[i]>8)nums[i]=1;
else nums[i]=-1;
}
sum[0]=nums[0];
for(int i=1;i<n;i++){
sum[i]=nums[i]+sum[i-1];
}
int left=0,right=0,sum1=0;
int res=0;
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=i;j<n;j++){
if(sum[j]-sum[i]+nums[i]>0){ //特别是这个判断条件的 +nums[i]
res=max(res,j-i+1);
}
}
}
return res;
}
};
724. 寻找数组的中心下标：前缀和
class Solution {
public:
int pivotIndex(vector<int>& nums) {
int n=nums.size();
int sum[n+1];
sum[0]=0;
for(int i=0;i<n;i++){
sum[i+1]=sum[i]+nums[i];
}
vector<int>ans;
for(int i=1;i<=n;i++){
int left = sum[i-1];
int right = sum[n]-sum[i];
if(left==right){
ans.push_back(i-1);
}
}
if(ans.size()==0)return -1;
else return ans[0];
}
};
560. 和为 K 的子数组：前缀和+哈希表
思路：其实我们现在这个题目和两数之和原理是一致的，只不过我们是将所有的前缀和该前缀和出现的次数存到了 map 里。
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ikxzAXnr-1679671888186)(D:/Typora/images/image-20221025191243786.png)]
class Solution {
public:
int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {
map<int,int>mp;
mp[0]=1;//是从开始到自身即pre[i]-k=0;即
int n=nums.size();
int pre[n+1];
pre[0]=0;
int res=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
pre[i]=pre[i-1]+nums[i-1];
if(mp.find(pre[i]-k)!=mp.end()){
res+=mp[pre[i]-k];
}
mp[pre[i]]++;
}
return res;
}
};
1248. 统计「优美子数组」:前缀和+哈希表
思路”要想着变化方程式；；；
class Solution {
public:
int numberOfSubarrays(vector<int>& nums, int k) {
int res=0;
int n=nums.size();
int pre[n+1];
pre[0]=0;
map<int,int>mp;
mp[0]=1;
for(int i=0;i<n;i++){
if(nums[i]%2==0){
nums[i]=0;
}else{
nums[i]=1;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
pre[i]=pre[i-1]+nums[i-1];
if(mp.find(pre[i]-k)!=mp.end()){
res+=mp[pre[i]-k];
}
mp[pre[i]]++;
}
return res;
}
};
974. 和可被 K 整除的子数组：前缀和+哈希表
其中 巧妙的 还是 方程变化。 以及对 负数的处理。
class Solution {
public:
int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {
map<int,int>mp;
mp[0]=1;
int n=nums.size();
int pre[n+1];
pre[0]=0;
int res=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
// 注意负数 的问题。
pre[i]=pre[i-1]+nums[i-1];
if(mp.find((pre[i]%k+k)%k)!=mp.end()){
res+=mp[(pre[i]%k+k)%k];
}
mp[(pre[i]%k+k)%k]++;
}
return res;
}
};
523. 连续的子数组和：前缀和+哈希表
class Solution {
public:
bool checkSubarraySum(vector<int>& nums, int k) {
int n = nums.size();
map<int,int>mp;
mp[0]=1;
int pre[n+1];
pre[0]=0;
int res = 0;
pre[1]=pre[0]+nums[0];
for(int i=2;i<=n;i++){
pre[i]=pre[i-1]+nums[i-1];
if(mp.find(pre[i]%k)!=mp.end()){
res+=mp[pre[i]%k];
}
mp[pre[i-1]%k]++; // 因为个数限制。
}
if(res==0)return false;
else return true;
}
};
930. 和相同的二元子数组：前缀和+哈希表
class Solution {
public:
int numSubarraysWithSum(vector<int>& nums, int goal) {
map<int,int>mp;
mp[0]=1;
int n=nums.size();
int pre[n+1];
pre[0]=0;
int res=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
pre[i]=pre[i-1]+nums[i-1];
if(mp.find(pre[i]-goal)!=mp.end()){
res+=mp[pre[i]-goal];
}
mp[pre[i]]++;
}
return res;
}
};
904. 水果成篮：滑动窗口+哈希表
class Solution {
public:
int totalFruit(vector<int>& fruits) {
int res = 0;
int n =fruits.size();
int right=0,left=0;
set<int>sc;
map<int,int>mp;
for(;right<n;right++){
sc.insert(fruits[right]);
mp[fruits[right]]++;
while(sc.size()>2){
mp[fruits[left]]--;
if(mp[fruits[left]]==0)sc.erase(fruits[left]);
left++;
}
res=max(res,right-left+1);
}
return res;
}
};
1]=pre[0]+nums[0];
for(int i=2;i<=n;i++){
pre[i]=pre[i-1]+nums[i-1];
if(mp.find(pre[i]%k)!=mp.end()){
res+=mp[pre[i]%k];
}
mp[pre[i-1]%k]++; // 因为个数限制。
}
if(res==0)return false;
else return true;
}
};
## [930. 和相同的二元子数组](https://leetcode.cn/problems/binary-subarrays-with-sum/)：前缀和+哈希表
```c++
class Solution {
public:
int numSubarraysWithSum(vector<int>& nums, int goal) {
map<int,int>mp;
mp[0]=1;
int n=nums.size();
int pre[n+1];
pre[0]=0;
int res=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
pre[i]=pre[i-1]+nums[i-1];
if(mp.find(pre[i]-goal)!=mp.end()){
res+=mp[pre[i]-goal];
}
mp[pre[i]]++;
}
return res;
}
};
904. 水果成篮：滑动窗口+哈希表
class Solution {
public:
int totalFruit(vector<int>& fruits) {
int res = 0;
int n =fruits.size();
int right=0,left=0;
set<int>sc;
map<int,int>mp;
for(;right<n;right++){
sc.insert(fruits[right]);
mp[fruits[right]]++;
while(sc.size()>2){
mp[fruits[left]]--;
if(mp[fruits[left]]==0)sc.erase(fruits[left]);
left++;
}
res=max(res,right-left+1);
}
return res;
}
};
![[计算机图形学]几何：网格处理(前瞻预习/复习回顾)](https://img-blog.csdnimg.cn/d6a5f9c260034cd2a5b8c9c39821107f.png)
