平面上点到直线的距离

• 设坐标平面上有点$P(x_1,y_1)$和直线$l:Ax+By+C=0$,$A,B$不全为0
• 点$P$到直线$l$的的距离的算法推导如下
  • 作直线$m$通过点$P(x_1,y_1)$,并且和直线$l$垂直,设垂足为$P_0(x_0,y_0)$
  • 令:$d^2=|P_0{P}_1{|}^2=(x_1-x_0{)}^2+(y_1-y_0{)}^2$(0),所求的就是$d$
  • 由直线垂直对应的方程关系可设直线$P{P}_0$的方程为$Bx-Ay+D=0$(1)
    • 因为$P$在$P{P}_0$上,从而$B{x}_0-A{y}_0+D=0$(1-1)
    • 两式相减,得$B(x-x_0)-A(y-y_0)=0$(1-2)
    • 将$P_0$代入到(1-2),得$B(x_0-x_1)-A(y_0-y_1)$=0(1-3)
  • 又因为$P_0$还在$l$上,从而$A{x}_0+B{y}_0+C=0$,从而$C=-A{x}_0-B{y}_0$(1-4),
  • 构造$t=A{x}_1+B{y}_1+C$,由(1-4),得$t=A{x}_1+B{y}_1-A{x}_0-B{y}_0$=$A(x_1-x_0)+B(y_1-y_0)$(1-5),即$A(x_1-x_0)+B(y_1-y_0)=t$(1-6)
    • 将(1-3)两边平方加上(1-6)两边平方,整理得
    • $(A^2+B^2)[(x_1-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2]$=$t^2$(1-7);代入(0),得$(A^2+B^2)d^2$=$t^2$
    • 所以$d^2$=$\frac{t^2}{(A^2+B^2)}$
    • $d$=$\frac{|t|}{\sqrt{A^2+B^2}}$=$\frac{|A{x}_1+B{y}_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$(1-8)

点到平面的距离

• 

• 设$P_0(x_0,y_0,z_0)$是平面$\Pi :Ax+By+Cz+D=0$(1)外一点,求$P_0$到$\Pi$的距离$d$

  • 设平面的法向量为$\mathbf{n}=(A,B,C)$(1-1),其朝向记为${\mathbf{d}}_1$,$-\mathbf{n}$也是$\Pi$的法向量,其朝向记为${\mathbf{d}}_2$

  • 我们只需要讨论其中的一种情况,另一种情况由于条件的对称性,同理,具有相同的结论

• 下面讨论点$P_0$分别位于${\mathbf{d}}_1,{\mathbf{d}}_2$侧时的情形

  • 将位于${\mathbf{d}}_1$侧时的$P_0$,记为$P_{01}$,位于${\mathbf{d}}_2$侧时记为$P_{02}$

• 分析可知,法向量$\mathbf{n}$和$\overrightarrow{P_1{P}_{01}}$的夹角${\theta }_1\in (0,\frac{\pi }{2})$,$\mathbf{n}$和$\overrightarrow{P_1{P}_{02}}$的夹角为${\theta }_2\in (\frac{\pi }{2},\pi )$

  • 距离分别记为$h_1=|\overrightarrow{P_1{P}_{01}}|\cos {\theta }_1$(2)和$h_2=|\overrightarrow{P_1{P}_{02}}|\cos (\pi -{\theta }_2)=|\overrightarrow{P_1{P}_{02}}|(-\cos {\theta }_2)$(3)

    • 其中$\cos {\theta }_2<0$,即$-\cos {\theta }_2>0$,从而$h_2=|\overrightarrow{P_1{P}_{02}}||\cos {\theta }_2|$(4)

    • 另一方面,$\cos {\theta }_1>0$,即$|\cos {\theta }_1|=\cos {\theta }_1$,从而$h_1=|\overrightarrow{P_1{P}_{01}}|\cos {\theta }_1$=$|\overrightarrow{P_1{P}_{01}}||\cos {\theta }_1|$(5)

• 从而$h_1,h_2$的计算公式形式一致,因此点$P_0$到$\Pi$的距离公式为:$h=|\overrightarrow{P_1{P}_0}||\cos \theta |$(6)

小结

• $\overrightarrow{P_1{P}_0}=(x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1)$(7)

• $h$=$|\overrightarrow{P_1{P}_0}||\cos \theta |$=$|\overrightarrow{P_1{P}_0}|\frac{|\overrightarrow{P_1{P}_0}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{P_1{P}_0}||\mathbf{n}|}$=$\frac{|\overrightarrow{P_1{P}_0}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}$(8)

• 将(1-1),(7)带入(8):得式(9)

  • $$\begin{gathered} h=\frac{|(x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1)\cdot (A,B,C)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\ =\frac{|A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\ =\frac{|A{x}_0-A{x}_1+B{y}_0-B{y}_1+C{z}_0-C{z}_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\ =\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0-(A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \end{gathered}$$

• 由于$P_1\in \Pi$,所以$A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D=0$(10),即$-(A{x}_1+B{y}_1+C_z)=D$(10-1)

• 所以有(11)

  • $$h=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

角平分面问题

• 平面${\Pi }_1,{\Pi }_2$的角平分上的点到两平面的距离相等(点线距问题),来建立方程

例

• 点$P(2,1,1)$到$\Pi :x+y-z+1=0$的距离:

  • $$h=\frac{|2+1-1+1|}{\sqrt{1+1+1}}=\sqrt{3}$$

点到直线的距离

• 设$M_0(x_0,y_0,z_0)$是直线外的一点
• $M(x,y,z)$是直线$l$:$\frac{x-x_1}{m}=\frac{y-y_1}{n}=\frac{z-z_1}{p}$上的一点,求点$M_0$到直线$l$的距离$d$
  • 直线的方向向量为$\mathbf{s}=(m,n,p)$(1),因此可以在直线$l$上截取两点构造和$\mathbf{s}$相等的向量
  • 不妨取$M_1(x+m,y+n,z+p)$,则$\overrightarrow{M{M}_1}$=$\mathbf{s}$
  • 又$\overrightarrow{M_{0}M}$=$(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$(2),记为$\mathbf{m}$=$\overrightarrow{M_{0}M}$
  • 由向量积的几何意义可知,$S=|\mathbf{s}\times \mathbf{m}|$为以$\mathbf{s},\mathbf{m}$为邻边的平行四边形的面积
  • 又$S=|M{M}_1|d$=$|\mathbf{s}|d$,所以$d=\frac{S}{|\mathbf{s}|}$=$\frac{|\mathbf{s}\times \mathbf{m}|}{|\mathbf{s}|}$(3),再找到直线$l$上的一点,例如$(x_1,y_1,z_1)$代入点$M$,可以算出具体的$\mathbf{m}$向量$(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)$
    • $|\mathbf{s}|$=$\sqrt{m^2+n^2+p^2}$
    • $|\mathbf{s}\times \mathbf{m}|$=$|(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\times (m,n,p)|$
  • 即$d$=$\frac{|(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\times (m,n,p)|}{\sqrt{m^2+n^2+p^2}}$