【算法-数组1】二分查找和移除元素

今天，带来XXX的讲解。文中不足错漏之处望请斧正！

理论基础

二分查找

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

1. 思路

有序、不重复的数组，是个很让人嘴馋的条件，它天然地有很大优势。

听过猜数游戏吗？猜1~100中的目标数，有最快的方法：每次把答案所处的范围缩小一半。

比如要猜78：

当前选数: 50

50小了，接下来的范围是:[50, 99]

当前选数: 75

75小了，接下来的范围是:[75, 99]

当前选数: 88

88大了，接下来的范围是:[75, 86]

当前选数: 81

81大了，接下来的范围是:[75, 79]

当前选数: 78

猜对了，78就是答案

每次，范围都能缩小一半，用当前选数来把整个范围一分为二。

这其实就叫二分查找算法：对于有序不重复的数组，每次取整个区间中间位置的值，判断这个值和目标谁大，中间值大，说明目标在左边，反之说明目标在右边。

在这里插入图片描述

2. 参考代码

2.0 循环不变量

很多朋友写二分法经常写乱，主要是因为对区间的定义没有想清楚，区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中，保持不变量，就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作，这就是循环不变量规则。
一般来说，left 和 right 有左闭右闭和左闭右开两种定义。

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while(left ? right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(target < nums[mid])  right = ?;
            if(nums[mid] < target)  left = ?;
            if(target == nums[mid]) return mid;
        }
        return -1;
    }
};

细节1：while如何判断

while判断是<还是≤？

细节2：如何缩范围

确定了nums[mid]和target的关系，我们要怎么缩范围呢？这里难道不可以right = mid; left = mid;吗？

根据循环不变量确定细节

首先要根据题意来明确，我们搜索（查找）的区间是左闭右开还是左闭右闭。

while判断：区间的定义
1. 左闭右闭：while(left ≤ right)，因为left==right的时候，没有把整个数组搜索完，且[left,right]是合法区间
2. 左闭右开：while(left < right)，因为left==right的时候，整个数组已经搜索完了，且[left,right)不是合法区间
缩范围：区间的定义 + 要缩范围时mid位置是否可被排除
1. 左闭右闭+mid位置可被排除：right = mid-1; left = mid+1
2. 左闭右开+mid位置可被排除：right = mid; left = mid+1
3. 左闭右闭+mid位置不可被排除：right = mid; left = mid
4. 左闭右开+mid位置不可被排除：right = mid+1; left = mid

2.1 左闭右闭版

所以回过头分析左闭右闭的写法：

当left==right，[left,right]是合法区间——while(left ≤ right)
左闭右闭+mid位置可被排除——right= mid - 1; left = mid + 1;

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while(left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(target < nums[mid])  right = mid - 1;
            if(nums[mid] < target)  left = mid + 1;
            if(target == nums[mid]) return mid;
        }
        return -1;
    }
};

2.2 左闭右开版

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.size();
        while(left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(target < nums[mid])  right = mid;
            if(nums[mid] < target)  left = mid + 1;
            if(target == nums[mid]) return mid;
        }
        return -1;
    }
};

当left==right，[left,right)是非法区间，如[1, 1)是非法的，不可能既包含1又不包含1——while(left < right)
左闭右开+mid位置可被排除：right = mid; left = mid+1

移除元素

给你一个数组 nums 和一个值 val，你需要原地移除所有数值等于 val 的元素，并返回移除后数组的新长度。

不要使用额外的数组空间，你必须仅使用 O(1) 额外空间并原地修改输入数组。

元素的顺序可以改变。你不需要考虑数组中超出新长度后面的元素。

1. 思路

1.1 暴力

两层循环，找到val就执行覆盖操作。

1.2 替换法

如果不关心顺序，可以用替换法，若当前位置等于val，把最后一个位置赋给当前位置，删除最后一个位置（尾删是O(1)）。

1.3 双指针法

快指针遍历数组，找不需要移除的元素赋给慢指针。慢指针维护的是不需要移除的元素。

在这里插入图片描述
*图片来自代码随想录

2. 参考代码

2.1 暴力

class Solution {
public:
    int removeElement(vector<int>& nums, int val) {
        size_t i = 0;
        while(i < nums.size()) {
            if(nums[i] == val) {
                int cur = i, next = i + 1;
                while(next < nums.size()) nums[cur++] = nums[next++]; //最后一个不用管了
                nums.pop_back();
            }
            if(nums[i] != val) ++i; //覆盖后如果不判断就直接++i，可能跳过要移除的元素
        }
        return nums.size();
    }
};

O(N^2)的时间复杂度，比较弱。

2.2 替换

class Solution2 {
public:
    int removeElement(vector<int>& nums, int val) {
        //不考虑元素顺序：替换法删除
        size_t i = 0;
        while(i < nums.size()) {
            if(nums[i] == val) {
                while(!nums.empty() && nums.back() == val) nums.pop_back();
                if(i < nums.size()) {
                    nums[i] = nums.back();
                    nums.pop_back();
                }
            }
            ++i;
        }
        return nums.size();
    }
};

O(N)的时间复杂度。

2.3 双指针

class Solution {
public:
    int removeElement(vector<int>& nums, int val) {
        int slow = 0;
        for(size_t fast = 0; fast < nums.size(); ++fast) {
            if(nums[fast] != val) nums[slow++] = nums[fast];
        }
        return slow;
    }
};